[Tricks-00002]CF2026F 操作建树维护带删deque信息的经典套路

这怎么是 *2700？？？我大受震撼了好吧。

简要题意：有一个初始长度是 \(cnt=1\) 的序列 \(S\)，序列每个位置都是若干个二元组 \((p,t)\) 组成的可重集，初始时 \(S_1\) 为空集。\(q\) 组操作（为修改或询问），有如下四种操作：

1 x：把 \(S_x\) 复制到一个新加的点 \(S_{++cnt}\) 上。

2 x p t：将 \((p,t)\) 加入 \(S_x\)。

3 x：将 \(S_x\) 最早加入的一个元素删掉。

4 x p：对 \(S_x\) 中所有元素做一个 01 背包（\(p\) 为体积，\(t\) 为价值），限制体积至多为 \(p\)，求最大价值。

数据范围：\(1\leq q\leq 3\times 10^4,1\leq p,t\leq 2\times 10^3\)。

直接报做法，没遇见过不容易想到。考虑离线之后，把操作树建出来！具体地，我们维护做完每个前三种操作时的 \(time\) 代表相对应的点目前的集合，按这个来建一棵树。比如设 \(lst_x\) 表示最后一次更新 \(S_x\) 的时刻，则 \(2\) 操作相当于 \(lst_x\rightarrow time\) 连一条权值为 \(time\) 的边。\(3\) 操作相当于 ,\(lst_x\rightarrow time\) 连一条 \(-1\)，\(1\) 操作相当于 \(lst_x\rightarrow lst_{++cnt}=time\) 连一条权值为 \(0\) 的边。

这棵操作树建出来之后，你就可以把 \(4\) 操作的询问挂在对应的点上，然后做一遍 dfs，维护一个双端队列表示操作，每往下走一条边就 push_back 或 pop_front，回溯时就 pop_back 或 push_front，以及查询当前点的 deque 所有二元组拼起来的几个背包点值。直接做复杂度是 \(O(q^2N)\) 的，其中 \(N=2000\)。

怎么优化呢？后面部分也是挺 tricky 的，还是直接报。注意这里背包无法做卷积，只有最后求点值的时候可以保留两个背包然后 \(O(N)\) 拼起来。因此，我们就改为维护两个栈！想象成 "用 stack/数组维护 deque" 的过程，是不是有一个 \(0\) 号点，然后两边相当于分别一个栈来加？如果不删到这个位置，就直接做完了，那么删到了咋办？你会发现，重构的时候把 \(0\) 号点设在非空那个栈的一半处就好了。这样，下次再重构的时候，必须要经过至少 \(O(size)\) 次修改才可以，所以均摊是对的。

具体地，你维护俩 stack 记作 \(SL\) 和 \(SR\)，push 直接找到对应栈就好了，pop 如果不影响也直接做，如果影响就把另一个栈从半处分开，重构即可。时间复杂度就变成了优秀的 \(O(qN)\)，跑得飞快。

对顶栈（划掉）

一种可能的实现方式：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[30005],t[30005],vv[30005];
vector<pair<int,int>>g[30005];
vector<int>wz[30005];
int oo[30005],ans[30005];
const int N=2000;
struct apple{int f[N+5];void jia(int x,int y){for(int i=N-x;i>=0;--i)f[i+x]=max(f[i+x],f[i]+y);}
}e;
deque<pair<int,int>>dq;
stack<apple>sr,sl;
int zr=0,zl=0;
void efront(int p,int t){++zr;auto au=sr.top();au.jia(p,t);sr.emplace(au);
}
void eback(int p,int t){++zl;auto au=sl.top();au.jia(p,t);sl.emplace(au);
}
void pfront(){if(zr>0)--zr,sr.pop();else{int k=zl;while(zl--)sl.pop();zl=0;for(int i=(k+1)/2;i>=2;--i)efront(dq[i-1].first,dq[i-1].second);for(int i=(k+1)/2+1;i<=k;++i)eback(dq[i-1].first,dq[i-1].second);}
}
void pback(){if(zl>0)--zl,sl.pop();else{int k=zr;while(zr--)sr.pop();zr=0;for(int i=k/2;i>=1;--i)efront(dq[i-1].first,dq[i-1].second);for(int i=k/2+1;i<k;++i)eback(dq[i-1].first,dq[i-1].second);}
}
int suan(int p){apple a1=sl.top(),a2=sr.top();int ans=0;for(int i=0;i<=p;++i)ans=max(ans,a1.f[i]+a2.f[p-i]);return ans;
}
void dfs(int x){for(auto z:wz[x]){ans[z]=suan(p[z]);}for(auto pi:g[x]){int cu=pi.first,c2=pi.second;pair<int,int>au(0,0);if(c2>0){eback(p[c2],t[c2]);dq.emplace_back(p[c2],t[c2]);}else if(c2==-1){au=dq.front();pfront();dq.pop_front();}dfs(cu);if(c2>0){pback();dq.pop_back();}else if(c2==-1){efront(au.first,au.second);dq.emplace_front(au);}}
}
int main(){sr.emplace(e);sl.emplace(e);int q;scanf("%d",&q);int z=1;vv[1]=0;for(int te=1;te<=q;++te){int op;scanf("%d",&op);if(op==1){int k=++z,x;scanf("%d",&x);vv[k]=te;g[vv[x]].emplace_back(vv[k],0);}else if(op==2){int x;scanf("%d",&x);scanf("%d%d",&p[te],&t[te]);g[vv[x]].emplace_back(te,te);vv[x]=te;}else if(op==3){int x;scanf("%d",&x);g[vv[x]].emplace_back(te,-1);vv[x]=te;}else{oo[te]=1;int x;scanf("%d%d",&x,&p[te]);wz[vv[x]].emplace_back(te);}}dfs(0);for(int te=1;te<=q;++te)if(oo[te]){printf("%d\n",ans[te]);}return 0;
}