P11253 [GDKOI2023 普及组] 小学生数学题 题解

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前置知识

积性函数 | 乘法逆元

解法

观察到 \(f(i)=\frac{1}{i^{k}} \bmod p\) 是完全积性函数，线性筛预处理即可。

需要适当的取模优化。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
const ll p=998244353;
ll prime[3000010],inv[20000010],len=0;
bool vis[20000010];
ll qpow(ll a,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1){ans=ans*a%p;}b>>=1;a=a*a%p;}return ans;
}
void isprime(ll n,ll k)
{memset(vis,0,sizeof(vis));inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(vis[i]==0){len++;prime[len]=i;inv[i]=qpow(qpow(i,k),p-2);}for(ll j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++){vis[i*prime[j]]=1;inv[i*prime[j]]=inv[i]*inv[prime[j]]%p;if(i%prime[j]==0){break;}}}
}
int main()
{ll n,k,ans=0,mul=1,i;cin>>n>>k;isprime(n,k);for(i=1;i<=n;i++){mul=mul*i%p;ans=(ans+mul*inv[i]%p)%p;}cout<<ans<<endl;return 0;
}