有限微积分

差分

我们知道，有无限微积分，就是对于一个多项式，有：

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \]

其中 \(\Delta x\) 趋近于无穷小。

那么，我们类似的，定义多项式的差分：

\[\Delta f(x)=(x+1)-f(x) \]

意思是，\(\Delta f(x)\) 是一个新的函数，它描述了 \(f(x)\) 的差。

这个函数的性质很有意思。比如，\(\displaystyle \sum_a^b \Delta f(x)=f(b)-f(a)\)

翻译成 OI 的语言就是：差分数组的前缀和就是原数组。

那么，差分的性质还有哪些？

• 加法律：\(\Delta (u+v)=\Delta u+\Delta v\)。

• 减法律：\(\Delta (u-v)=\Delta u-\Delta v\)

• 数乘律：\(C\Delta u=\Delta (Cu)\)

• 乘法率：\(\Delta (uv)=u\Delta v+Ev \Delta u\)

定和式

为了解决数列求和问题，我们定义定和式：

\[\begin{aligned} {\sum}_a^b f(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+...+f(b-1) \end{aligned} \]

它是差分的逆运算，根据上面所述，我们有：

\[\begin{aligned} {\sum}_a^b\Delta f(x)\delta x&=\Delta f(a)+\Delta f(a+1)+...+\Delta f(b-1) \\ &=f(a+1)-f(a)+f(a+2)-f(a+1)+...+f(b)-f(b-1) \\ &=f(b)-f(a) \end{aligned} \]

使用上面的定义，我们可以得出定和式的以下性质：

• \({\sum}_a^b f(x)\delta x+\sum_b^c f(x)\delta x=\sum_a^c f(x)\delta x\)

• \(\sum_a^b f(x)\delta x\pm \sum_a^b g(x)\delta x=\sum_a^b (f(x)+g(x))\delta x\)

• \(\sum_a^b Cf(x)\delta x=C\sum_a^b f(x)\delta x\)

那么，我们可以利用这个工具，实现数列的 \(O(n)\) 求和向 \(O(1)\) 求和的进步。

例如：求等比数列的和 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^k(a\neq 1)\)

首先考虑指数函数的差分：

\[\begin{aligned} \Delta(a^x)=a^{x+1}-a^x&=(a-1)a^x \\ \frac{a^{x+1}-a^x}{a-1}&=a^x \\ a^x&=\Delta(\frac{a^x}{a-1}) \end{aligned} \]

因此

\[\sum_{k=0}^{n-1}a^k={\sum}_0^n a^x\delta x=\sum_0^n \Delta(\frac{a^x}{a-1})\delta x=\frac{a^n}{a-1}-\frac{a^0}{a-1}=\frac{a^n-1}{a-1} \]

下降幂

引出下降幂的概念，也是为了对应在无限微积分中普通幂的性质。

我们根据差分定义有：

\[\Delta (x^n)=(x+1)^n-x^n=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^k \]

但是在无限微积分中，我们熟知：\((x^n)'=nx^{n-1}\)

我们这里给出下降幂的定义：

\[x^{\underline{n}}=\frac{1}{n!}\binom{x}{n}=\frac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \]

那么在有限微积分中，有类似优雅的结论：

\[\begin{aligned} \Delta (x^{\underline{n}})&=(x+1)^{\underline{n}}-x^{\underline{n}} \\ &=\prod_{k=0}^{n-1} (x-k+1)- \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \\ &=\prod_{k=-1}^{n-2}(x-k)-\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \\ &=(x+1-x+n-1)\prod_{k=0}^{n-2}(x-k) \\ &=nx^{\underline{n-1}} \end{aligned} \]

太完美了！

那么，进一步地

\[\begin{aligned} \Delta(x^{\underline{n}})&=nx^{\underline{n-1}} \\ \Delta(x^{\underline{n+1}})&=(n+1)x^{\underline{n}} \\ (x+1)^{\underline{n+1}}-x^{\underline{n+1}}&=(n+1)x^{\underline{n}} \\ \frac{(x+1)^{\underline{n+1}}-x^{\underline{n+1}}}{n+1}&=x^{\underline{n}} \\ \Delta(\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1})&=x^{\underline{n}} \end{aligned} \]

那么仿照等比数列的式子，我们再来几个例子：

1. 求解等差数列 \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk\)

\[\sum_{k=1}^{n}k={\sum}_1^{n+1}x^{\underline{1}}\delta x=\frac 1 2(n+1)^{\underline{2}}-\frac 1 2 1^{\underline{2}}=\frac{n(n+1)}{2} \]

2. 求解 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\)

\[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{n-1}k^{\underline{2}}={\sum}_{0}^{n}x^{\underline{-2}}\delta x=\dfrac{n^{\underline{-1}}-0^{\underline{-1}}}{-1}=1-\dfrac{1}{n+1} \]

3. 求证上指标求和公式 \(\sum_{k=0}^n \binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n\dbinom{k}{m}&=\sum_{k=0}^n\frac{k^{\underline{m}}}{m!}=\frac{1}{m!}={\sum}_0^{n+1}x^{\underline{m}}\delta x \\ &=\frac{(n+1)^{\underline{m+1}}-0^{\underline{m+1}}}{m!(m+1)}=\frac{(n+1)^{\underline{m+1}}}{(m+1)!}=\binom{n+1}{m+1} \end{aligned} \]

4. 求解 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2\)

\[\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=0}^n k^2={\sum}_{0}^{n+1}(x^{\underline{2}}+x)\delta x=\frac 1 3(n+1)^{\underline{3}}+\frac 1 2 (n+1)^{\underline(2)}=(n+1)n(\frac 1 3(n-1)+\frac 1 2)=\frac{(n+1)n(2n+1)}{6} \]