全零子矩形计数问题

经典问题，但是我为什么不会呢？？？？？

题意

给定一张 \(n\times m\) 的 01 矩阵，求出有多少个子矩阵使得子矩阵内没有 1。

\(n,m\le 10^3\)

分析

考虑枚举每一行，计算以该行上每个点为右下角的合法子矩形个数 \(\sum sum_{i,j}\)，也就是说，计算左上角的个数使得左上角和该右下角形成的子矩形不包含 1。

其实到这里已经可以思考单调栈了，但是为了捋顺思路，我们还是考虑对于每一行，只有该列上方的第一个 1 会对子矩形大小产生限制，而在某一个 1 往左的比该 1 所在行数要靠前的那些 1 也不会产生限制。据此我们考虑单调栈，预处理 \(up_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 往上第一个 1 和它本身的距离，单调栈里维护一个递增的 \(up_{i,j}\) 和 \(\sum sum_{i,j}\)，将比 \(up_{i,j}\) 大的点弹完后，令栈顶的列为 \(c\)，由于单调栈 \(up\) 递增，\(sum_{i,c}\) 的答案可以直接继承到 \(sum_{i,j}\) 中，额外的贡献还有 \(x\in(up_{i,c},up_{i,j}],y\in (c,j]\) 这部分子矩形的点，把它们加进 \(sum_{i,j}\) 中。

时间复杂度 \(O(nm)\)。

rep(j,1,m){rep(i,1,n){if(s[i][j]=='1')up[i][j]=0;else up[i][j]=up[i-1][j]+1;}
}
int ans=0;
rep(i,1,n){tp=0;sum[0]=0;rep(j,1,m){while(tp&&up[i][j]<=up[i][sta[tp]])--tp;sum[j]=(sum[sta[tp]]+1ll*(j-sta[tp])*up[i][j]%mod)%mod;ans=(ans+sum[j])%mod;sta[++tp]=j;}
}