NOIP模拟赛 #10

A

Luogu6472

猜结论。

B

有 \(n\) 堆硬币，每堆有 \(3\) 枚，第 \(i\) 堆硬币从上到下价值分别为 \(a_i, b_i, a_i\)。取若干个硬币，要求每堆必须先取上面再取下面，求分别取 \(1, 2, 3, \dots, k\) 枚硬币时的最大价值和。

\(1\le n\le 5\times 10^6, \ 1\le k\le 3n\)

对于第 \(i\) 堆，可以转化为一个价值为 \(a_i\) 的物品，体积为 \(1\)，以及一个价值为 \(a_i + b_i\) 的物品，体积为 \(2\)，发现所有组合情况恰好对应这堆硬币取 \(0, 1, 2, 3\) 枚时的价值。

所以我们只需要对体积为 \(1\) 或 \(2\) 的一些物品进行背包，求出体积之和恰好为 \(1, 2, 3, \dots, k\) 时的答案。考虑钦定只取体积为 \(1\) 的物品，反悔取体积为 \(2\) 的物品即可。

C

给定一个由至多 \(10\) 种小写字母组成的字符串，多次询问，求一个一个区间内本质不同子序列数量，答案模 \(10^9 + 7\)。

\(1\le n, q\le 5\times 10^5\)

考虑猫树分治。对于一个子序列，在原串中匹配该子序列，映射到最小表示上。

对于一个分治节点 \((l, r, mid)\)，对于一个询问 \([l_q, r_q]\) 满足 \(l\le l_q\le mid < r_q\le r\)，若只用匹配 \([l_q, mid]\) 匹配是容易的。否则考虑枚举 \([mid + 1, r_q]\) 匹配的第一个字符 \(c\)，对于 \(l\le i\le mid\) 设 \(f_{i, c}\) 表示从匹配到了第 \(i\) 位，在左半部分后续匹配且 \([\text{左半部分最后一个匹配位置} + 1, mid]\) 中没有字符 \(c\) 的方案数，对于 \(mid + 1\le i\le r\) 设 \(g_{i, c}\) 右半部分开头匹配到了位置 \(i\) 且第一个匹配的字符是 \(c\) 的方案数，那么对答案的贡献为 \(f_{l_q - 1, c}\sum_{i = mid + 1} ^ r g_{i, c}\)。

对于 \(f, g\)，可以直接差分 / 前缀和优化求出，时间复杂度 \(\mathcal O(10n\log n)\)。

D

你需要依次 \(n\) 件商品，第 \(i\) 件商品需要花费 \(a_i\) 个金币。你可以使用一张优惠券代替一枚金币，买商品 \(i\) 使用的优惠券数量应不超过 \(b_i\)。初始时你有 \(m\) 张优惠券，当你买商品 \(i\) 时使用了 \(x\) 张优惠券，则购买后可以获得 \(\dfrac {a_i - x} c\) 张优惠券，\(c\) 为给定常数，求使用的最少金币总数。

\(1\le n\le 10^6, \ 0\le m, a_i, b_i\le 10^9, \ 2\le c\le 10^9\)

考虑商品 \(i\) 该如何合理使用优惠券：

• 首先使用 \([0, a_i \bmod c]\) 张优惠券，此时不影响获得的优惠券数量，性价比最高。

• 接着使用 \(k \cdot c\) 张优惠券，会损失 \(k\) 张优惠券的获得。

• 最后使用 \([0, c - 1]\) 张优惠券，会损失 \(1\) 张优惠券的获得。

不难发现三种方式有着严格的优先级。先处理第一种方式，设 \(x_i\) 为商品 \(i\) 使用的优惠券数量，设 \(s_i\) 为买完商品 \(1\sim i\) 后剩下的优惠券数量，那么 \(x_i = \min(s_{i - 1}, b_i, a_i \bmod c)\)。

然后是第二种，不难发现对应的商品越靠后越好，考虑从后往前处理，则 \(x_i \gets x_i + c \cdot \min \left(\left \lfloor \dfrac {b_i - x_i} c \right \rfloor, \left \lfloor \dfrac {s_{i - 1} - x_i} c \right \rfloor, \min_{j = i + 1} ^ n \left \{ \left \lfloor \dfrac {s_{j - 1} - x_j} {c + 1} \right \rfloor \right \} \right)\)，第三者可以通过维护后缀 \(\min\) 解决。

最后是第三种方式，不难发现操作的商品数量越少越好，可以优先操作可使用优惠券数量尽量多的商品。商品 \(i\) 可使用的优惠券数量为 \(\min(b_i - x_i, s_{i - 1} - x_i, \min_{j = i + 1} ^ n \{ s_{j - 1} - x_j - 1 \})\)。设 \(t_i = s_{i - 1} - x_i\)，则原式为 \(\min(b_i - x_i, t_i, \min_{j = i + 1} ^ n \{ t_j - 1 \})\)。

一种暴力的方法是从大到小枚举单个商品使用优惠券数为 \(w\)，然后检查每个商品是否可以操作。注意到 \(\min(t_i, \min_{j = i + 1} ^ n \{ t_j - 1 \})\) 随着 \(i\) 变大而变大，只需要注意 \(b_i - x_i\) 即可。

考虑所有商品按照 \(b_i - x_i\) 从大到小依次加入，设当前商品和下一个商品的 \(b_i - x_i\) 分别为 \(p, q\)，可以处理掉 \(w \in [q + 1, p]\)。维护一个堆维护合法的位置 \(i\) 的集合，每次取出最大的合法位置，检查是否满足条件，查询可以使用线段树维护 \(t\) 的区间最小值，以及支持区间加。

• 启示：贪心，分层，分逻辑。