2012年美国数学奥林匹克P6：Chebyshev不等式证明方法的应用

题目 已知整数$n\geq2$, 实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=0,$ 且 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$ 对每个集合$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}$, 定义$\displaystyle{S_A=\sum_{i\in A}x_i,}$ 其中若$A$为空集, 则记$S_A=0.$ 求证：对任意正实数$\lambda$, 满足$S_A\geq\lambda$的集合个数至多有$\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}$个, 并求等号成立时$x_1, x_2, \cdots, x_n, \lambda$的取值.

提示 我们先列出一些容易观察出的事实(观察的时候也不知道有没有用).
(1) 设全集$U=\{1,2,\cdots,n\},$ 则$A$的补集$\overline{A}$满足\begin{align*}S_A+S_{\overline{A}}=\sum_{i\in A}x_i+\sum_{i\in \overline{A}}x_i=\sum_{i=1}^nx_i=0. \end{align*} 因此$A$和$\overline{A}$中至多有一个是符合条件的集合. 因此$U$的子集中至多有$2^{n-1}$个是符合条件的. 因此, 证明不等式时只需考虑$\lambda>\dfrac{1}{2}$的情形.
(2)当$x_1=\dfrac{\sqrt2}{2},$ $x_2=-\dfrac{\sqrt2}{2},$ $x_3=x_4=\cdots=x_n=0,$ 且$\lambda=\dfrac{\sqrt2}{2}$时, 满足条件的$A$满足$1\in A$且$2\notin A,$ 个数为$2^{n-2},$ 而$\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}=2^{n-2},$ 因此这是符合条件的一组值.
(3)在第(1)部分的基础上, 可知满足$S_A\geq\lambda$的集合个数与满足$S_A\leq-\lambda$的集合个数相等. 因此我们转而考虑满足$S_A^2\geq\lambda^2$的集合个数, 这样我们就可以利用$S_A^2$的非负性, 通过对全部$S_A^2$求和估计集合个数的上界.

证明 注意到\begin{align*}0=\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=1+2\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j,\end{align*} 因此$\displaystyle{\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=-\dfrac{1}{2}},$ 于是\begin{align*}\sum_{A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}}S_A^2=\sum_{i=1}^n\sum_{A\supseteq\{i\}}x_i^2+\sum_{1\leq i < j\leq n}\sum_{A\supseteq\{i,j\}}2x_ix_j=2^{n-1}\sum_{i=1}^nx_i^2+2^{n-1}\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=2^{n-2}.\end{align*}则设满足$S_A\geq\lambda$的集合个数为$M,$ 而对任意集合$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\},$ \begin{align*}S_A+S_{\overline{A}}=\sum_{i\in A}x_i+\sum_{i\in \overline{A}}x_i=\sum_{i=1}^nx_i=0.\end{align*}因此$S_A\leq-\lambda$当且仅当$S_{\overline{A}}\geq\lambda,$ 因此满足$S_A\leq-\lambda$的集合个数也为$M.$ 故满足$S_A^2\geq\lambda^2$的集合个数为$2M.$ 于是有\begin{align*}2^{n-2}=\sum_{A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}}S_A^2\geq \sum_{S_A^2\geq \lambda^2}S_A^2\geq\sum_{S_A^2\geq \lambda^2}\lambda^2=2M\lambda^2.\end{align*}因此$M\leq\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}.$ 不等式得证.
而不等式等号全部成立的充要条件是, 对任意$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\},$ $S_A^2=0$或$\lambda^2.$ 因此$S_A$至多有一个正值$(\lambda)$和一个负值$(-\lambda).$ 假设$x_1,x_2,\cdots,x_n$中有两个正数$a,b$, 则$S_A$可以取到$a,a+b$这两个不同的正值, 矛盾, 因此$x_1,x_2,\cdots,x_n$中至多有一个正数, 同理其中至多有一个负数. 则至多有两个非零数$c,d,$ 满足$c+d=0,$ $c^2+d^2=1,$ 故$\left\{c,d\right\}=\left\{\dfrac{\sqrt2}{2},-\dfrac{\sqrt2}{2}\right\},$ 故$\lambda$只能取为$\dfrac{\sqrt2}{2}.$ 而此时总有$S_A^2=0$或$\lambda^2.$ 因此这是等号成立的全部可能取值.