区间整除

Q6.1.3.3 区间整除

题意：区间加，区间整除，区间和，区间最小值.

Sol 1

区间整除时若当前区间 \(\max=\min\)，改成区间覆盖，否则继续

复杂度玄学

Sol 2

有一波性质分析：

发现 \(\left\lfloor\dfrac xk\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{x-1}k\right\rfloor\le1\)

稍微推广一下：\(x-1-\left\lfloor\dfrac{x-1}k\right\rfloor\le x-\left\lfloor\dfrac xk\right\rfloor\)

即记 \(f(x)=x-\left\lfloor\dfrac xk\right\rfloor\)，则在整点上有 \(f(x)\) 递增

那么在整除时若 \(f(\max)=f(\min)\)，则这个区间要减去的数是相同的

于是转化为了区间加

感性理解复杂度：记 \(a\) 为值域，对每个点，整除时最多暴力访问 \(\log a\) 次，而一次区间加相当于重置这个 \(\log\)。最多一共重置 \(m\log n\) 次，所以 \(m\log n\log a\)