#1947 道路 || CF1214F Employment

不难观察到一个性质：可以找到一条边 \((i,i+1)\)，满足存在一个最优解，其所有匹配的路径不经过这条边，称之为分界线。可以调整证明。

如果我们已知了分界线，不妨设为 \((m,1)\)。那么最小权匹配就是类似括号匹配，贪心扫一遍即可。

这个不是很好优化，考虑对每条边算贡献。不妨令两类点的权值为 \(1\) 和 \(-1\)，那么一条边 \((i,i+1)\) 的贡献就是 \(|pre_i|\)。其中 \(pre\) 为前缀和数组。

对于分界线不固定的情况，不妨设从 \((i-1,i)\) 分开，那么一条边 \((j,j+1)\) 的贡献就是 \(|pre_j-pre_i|\)。

考虑写出贡献和的式子 \(\sum\limits_{j=1}^m|pre_j-pre_i|\)，最小化该式只需要取 \(pre_i\) 为所有 \(pre\) 的中位数即可。\(pre\) 的值域不大，可以开个桶扫一遍。

瓶颈在于求出 \(pre\) 需要排序，用 bitset 优化可以做到 \(O(n+\dfrac{m}{w})\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void file() {freopen("1.in", "r", stdin);freopen("1.out", "w", stdout);
}
using ll = long long;namespace IO {char buf[1 << 20], *p1, *p2;#define getchar() ((p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2)) ? 0 : *p1++)int read() {char ch = getchar();int x = 0, f = 1;while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();return x * f;}
}
using IO::read;const ll kInfl = 1e18;
const int kN = 2e7 + 5, kM = 5e7 + 5;int n, m;
array<int, kN> a, ord, sum;
bitset<kM> buc;void Sort(int *a) {for(int i = 1; i <= n; i++) buc[a[i]] = 1;for(int i = 1, p = 0; i <= n; i++)a[i] = p = buc._Find_next(p), buc[p] = 0;
}void calc() {int tot = 0, p = 1, q = n + 1;for(; (p <= n) && (q <= 2 * n); )ord[++tot] = ((a[p] < a[q]) ? p++ : q++);for(; p <= n; ) ord[++tot] = p++;for(; q <= 2 * n; ) ord[++tot] = q++;ord[++tot] = ord[1];for(int i = 1, pre = n; i <= 2 * n; i++) {int x = ord[i], y = ord[i + 1];int len = a[y] - a[x];if(len < 0) len += m;sum[pre += ((x <= n) ? 1 : -1)] += len;}
}void clear() {fill_n(sum.data(), 2 * n + 1, 0);
}void solve() {m = read(), n = read(), clear();for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) a[i] = read();Sort(a.data()), Sort(a.data() + n), calc();int p = 0, cur = 0;for(; (cur += sum[p]) * 2 < m; p++) ;ll ans = 0;for(int i = 1, pre = n - p; i <= 2 * n; i++) {int x = ord[i], y = ord[i + 1];int len = a[y] - a[x];if(len < 0) len += m;ans += (ll)len * abs(pre += ((x <= n) ? 1 : -1));}cout << ans << "\n";
}int main() {// file();for(int T = read(); T--; solve()) ;return 0;
}