定义线性空间 \(V_i\) 的基底为 \(B_i\),现在我们希望求出 \(V_1\cap V_2\) 的基底 \(W\)。
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引理:令 \(T=V_1\cap B_2\),若 \(B_1\cup(B_2/T)\) 线性无关,则 \(T\) 是所求的 \(W\) 之一。
证明:考虑反面证明,若 \(T\) 非法则线性有关,设 \(v\in V_1\cap V_2\) 且不能被 \(T\) 表出。
那么有 \(v=x\oplus y,x\in T,y\in B_2/T\),且 \(y>0\)。
因为 \(x\in T\implies x\in V_1\),同时 \(v\in V_1\),所以 \(x\oplus v=y\in V_1\)
\(y\) 就可以被 \(B_1\) 表出
则 \(B_1\cup (B_2/T)\) 线性相关。
考虑如何求出 \(W\),可以考虑枚举 \(x:1\to |B_2|\):
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\(b_x\in B_2\)
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\(b_x\) 可以被 \(B_1\cup \lbrace b_1,b_2\dots b_{x-1}\rbrace\) 表出
设 \(b_x=p\oplus q,p\in V_1,q\) 被 \(\lbrace b_1,b_2\dots b_{x-1}\rbrace\) 表出,则将 \(q\) 加入 \(W\)。
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否则不做任何操作。
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证明这样可以求出 \(W\),只需要证明 \(V_{B_2-W}\cap V_1=\lbrace 0\rbrace\) 即可。
设 \(x\in V_{B_2/W}\cap V_1,x>0\)
则有 \(x\) 可以被 \(B_1\) 以及 \(B_2/W\) 表出,那么取出 \(B_2/W\) 里下标最大的 \(b_k\),则有 \(b_k\) 可以被 \(B_2/W/\lbrace b_k\rbrace\cup B_1\) 表出,那么与假设不符。
证毕。
实现:
struct node{int d[32];node(){memset(d,0,sizeof d);}void ins(int x){for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){if(d[i])x^=d[i];else {d[i]=x;return ;}}}bool count(int x){for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){if(!d[i])return false;x^=d[i];}return true;}node operator&(const node b)const {node tmpa;memcpy(tmpa.d,d,sizeof d);node uda=tmpa,res;for(int i=0;i<32;++i)if(b.d[i]){int x=b.d[i],sur=0,tag=1;for(int j=i;j>=0;--j)if((x>>j)&1){if(tmpa.d[j])x^=tmpa.d[j],sur^=uda.d[j];else {tmpa.d[j]=x,uda.d[j]=sur,tag=0;break;}//uda.d[i] 指该元素使用的 B_1 中元素 xor 和}if(tag)res.ins(sur);}return res;}
};
例题:
牛客884B
给定 \(n\) 个线性基,问 \([l,r]\) 的线性基是否都能够表出 \(x\)
考虑先建立线段树,该节点代表子树内所有线性基的交。
然后查询时在分的log个线性基里各自查询即可。
复杂度 \(O(nk\log n+nk^2)\),其中 \(k\) 是线性基维度。