传知代码-改进贪心算法（NGSOR）

news/2025/2/28 20:20:37/文章来源:https://www.cnblogs.com/chuanzhi-tech/p/18605508

一、算法背景及意义

（一）背包问题背景

背包问题是组合优化领域中的经典问题，具有广泛的实际应用场景，如资源分配、项目投资决策等。扩展简化折扣{0 - 1}背包问题（ESD{0 - 1}KP）是背包问题的一种变体，它在传统背包问题的基础上增加了一些复杂的约束条件，如物品的折扣系数以及每个项集中多个物品的选择情况，使得问题的求解更加困难。

（二）算法研究意义

理论意义：NGSOR算法为ESD{0 - 1}KP提供了一种有效的求解方法，通过将问题转化为与多选择背包问题（MCKP）相关的形式，并结合特定的计算价值密度和选择物品的策略，丰富了背包问题的求解算法理论。
实际意义：在实际应用中，能够帮助决策者在面对复杂的资源分配和项目选择问题时，更准确地找到满足约束条件且价值最大化的方案，提高决策效率和资源利用效率。

二、算法概述

原文链接

（一）总体思路

NGSOR算法主要通过计算物品的价值密度，并根据价值密度从高到低的顺序选择物品，同时考虑物品的折扣系数和背包容量限制，逐步构建满足条件的最优物品组合。

（二）关键步骤

计算价值密度
- 对于每个项集中的物品，考虑不同的选择组合情况，计算出相应的价值和重量，进而得到价值密度。
选择物品
- 根据价值密度对所有可能的物品选择进行排序。
- 依次尝试选择每个物品，并检查选择后的物品组合是否满足背包容量限制。如果满足且总价值更大，则更新当前的最优物品组合。

三、算法详细步骤

（一）计算价值密度

在calculate_value_density函数中：
- 首先获取物品价值系数数组P、质量系数数组W和折扣系数数组d的长度n。
- 初始化一个形状为(7*n, 2)的二维数组E，用于存储价值密度和原始索引信息。
- 对于每个项集（索引为i从0到n - 1）：
  - 计算所有可能的物品选择组合的价值Ps，包括单个物品选择以及不同物品组合的情况。
  - 计算相应的重量Ws，考虑了折扣系数的影响。
  - 将计算得到的价值密度Ps / Ws存储在E数组的对应行（7*i到7*i + 7）的第一列，同时将原始索引i存储在第二列。
最终返回E数组，其中包含了所有物品选择组合的价值密度和原始索引信息。

（二）NGSOR算法主函数

在NGSOR函数中：
- 获取物品价值系数数组P和质量系数数组W的长度n。
- 调用calculate_value_density函数计算价值密度数组E。
- 将E数组与一个包含从1到7*n的索引数组进行列拼接，得到一个新的数组，用于后续排序和索引操作。
- 对新数组E按第一列（价值密度）进行降序排序，得到排序后的索引数组H。
- 初始化决策变量数组X为全零数组，形状为(3*n, 1)，用于表示物品的选择情况。同时初始化一些变量用于记录当前最优解的总价值、总重量以及对应的物品选择数组。
然后进入循环：
- 对于每个可能的物品选择（索引为i从0到7*n - 1）：
  - 根据排序后的索引H[i]计算物品所在项集索引t1和在项集中的选择情况索引t2，以及原始物品索引item_index。
  - 复制当前决策变量数组X得到T，并根据t2的值设置对应项集中物品的选择情况selection。
  - 计算选择T后的总重量Q，通过遍历每个项集，检查是否有物品被选择，如果有则计算相应的重量并累加。
  - 如果总重量Q满足背包容量限制C：
    - 计算选择T后的总价值current_value，通过将对应项集中物品的价值与选择情况相乘并累加得到。
    - 如果current_value大于当前最优总价值best_value，则更新最优解相关变量，包括最优物品选择数组best_X、最优总价值best_value和最优总重量best_weight。
最后返回最优总价值best_value、最优总重量best_weight和最优物品选择数组best_X。

四、算法复杂度分析

（一）时间复杂度

在calculate_value_density函数中：
- 有一个外层循环遍历n个项集，内部对于每个项集计算价值和重量组合需要常数时间（不考虑数组操作的时间复杂度），所以这部分时间复杂度为$O(n)$。
在NGSOR函数中：
- 计算价值密度的calculate_value_density函数调用时间复杂度为$O(n)$。
- 对价值密度数组E进行排序操作的时间复杂度通常为$O(7n log(7n))$，这里简化为$O(n log n)$（忽略常数系数）。
- 循环部分有7n次迭代，每次迭代内部计算物品选择情况、总重量和总价值的操作时间复杂度为$O(n)$（主要是遍历项集的操作），所以循环部分时间复杂度为$O(n^2)$。
- 综合来看，算法的时间复杂度主要由循环部分决定，为$O(n^2)$。

（二）空间复杂度

在calculate_value_density函数中：
- 使用了一个形状为(7*n, 2)的数组E，所以空间复杂度为$O(n)$（忽略常数系数）。
在NGSOR函数中：
- 使用了数组E、H、X、best_X等，其中E的大小为$O(n)$，H的大小为$O(n)$（排序后的索引数组），X和best_X的大小为$O(n)$（因为是与项集数量相关的数组），所以空间复杂度为$O(n)$。

五、测试示例

在主函数中：
- 使用np.random.seed(0)设置随机数种子，确保结果的可重复性。
- 定义项集数量n为5，随机生成价值系数数组P（形状为(n, 3)）、质量系数数组W（形状为(n, 3)）和折扣系数数组d（[1, 0.8, 0.7]），以及背包最大载重C为100。
调用NGSOR函数并输出结果，包括最优总价值Optimal Value、最优总重量Optimal Weight和最优物品选择数组Optimal Selection（重塑为(n, 3)的形状）。