排列数的定义

排列数的定义：

排列数是指从 $ n $ 个不同的元素中，选取 $ m $ 个元素并按照一定顺序排列的方式数，记为 $ P(m, n) $。

数学定义为：

\[P(m, n) = \frac{n!}{(n-m)!}, \]

其中：

• $ n! $ 表示 $ n $ 的阶乘，即 $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 $。
• $ (n-m)! $ 表示剩余未选部分的阶乘。

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理解排列数公式

1. 总元素数： $ n $ 是可供选择的总元素个数。
2. 选取元素数： $ m $ 是需要选取和排列的元素个数。
3. 公式原理：
   • 第一个位置有 $ n $ 种选择；
   • 第二个位置有 $ n-1 $ 种选择；
   • 依此类推，到第 $ m $ 个位置时有 $ n-m+1 $ 种选择。
   • 因此总排列数为：
     \[P(m, n) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-m+1). \]

   这恰好等于公式 $ \frac{n!}{(n-m)!} $。

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举例

例 1：从 5 个元素 $ {A, B, C, D, E} $ 中选 3 个元素进行排列。

1. 按公式计算：
   \[P(3, 5) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60. \]

2. 枚举法验证：
   比如选择 $ A, B, C \(，它们可以按照以下顺序排列： \) ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA $，共 $ 6 $ 种；其他选法类似，总共有 $ 60 $ 种排列。

例 2：从 4 个元素 $ {A, B, C, D} $ 中选 2 个元素进行排列。

1. 按公式计算：
   \[P(2, 4) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12. \]

2. 枚举法验证：
   比如选择 $ A, B $，可以排列为 $ AB, BA $；类似其他选法，总共有 $ 12 $ 种。

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区别于组合数

排列数 $ P(m, n) $ 和组合数 $ C(m, n) $ 的区别在于是否考虑顺序：

• 排列数：考虑顺序，顺序不同的两种情况视为不同。
• 组合数：不考虑顺序，顺序不同的两种情况视为相同。

两者的关系：

\[P(m, n) = C(m, n) \times m!, \]

即排列数等于组合数乘以选取的 $ m $ 个元素的全排列数。