利用组合数的定义 $ C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} $，展开公式的两边进行验证。
左边：
\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}.
\]
右边：
\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1).
\]
分别计算两项：
\[C(m, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!((n-1)-m)!} = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!},
\]
\[C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}.
\]
将右边通分：
\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}.
\]
通分后分母为 $ m!(n-m)! $，分子为：
\[m \cdot (n-1)! + (n-m) \cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)!.
\]
因此：
\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{n \cdot (n-1)!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}.
\]
这与 $ C(m, n) $ 相等，证明完毕。
