P1973 [NOI2011] NOI 嘉年华

前言

好困难啊, 最近的新目标是吧效率拉起来

思路

转化题意

一问

对于 \(n\) 条线段, 我们对于每条线段, 都要分到两个场地中的一个或者放弃, 求如何分配使得两个场地不存在 \(i\) 满足 \(i \in S_1\) 且 \(i \in S_2\) (其中 \(S_1, S_2\) 分别表示两个场地线段的集合) , 并且使得较少的场地的线段数最多

二问

求当钦定 \(i\) 线段必选时, 并且使得较少的场地的线段数最多

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先考虑一问

这个题我们发现, 如果你考虑单条线段, 不太好做, 原因是题目中的限制条件和线段没什么关系, 所以我们考虑按照点来 \(\rm{dp}\)

令 \(f_{i, j}\) 表示对于前 \(i\) 个时间点, 给 \(1\) 号场地 \(j\) 条线段, 此时另外一边选择线段的最大值

我们讨论一段区间内, 几条线段全部给 \(1\) 号或者 \(2\) 号场地时的最优收益

\[f_{i, j} = \max_{k = 1}^{i - 1} \{ f_{k, j - tot_{k, i}}, f_{k, j} + tot_{k, i} \} \]

其中 \(tot\) 为预处理出的 \(l \sim r\) 区间中, 有多少条被完全覆盖的线段

这样我们可以 \(\mathcal{O} (n^3)\) 且比较自然的完成一问

答案即为 \(\displaystyle\max_{i = 1}^{n} \{f_{m, i}, i\}\)

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考虑二问

容易发现的是, 当我们钦定 \(i\) 条线段必须选时, 其前后两段的性质与第一问无异

我们考虑处理前后缀, 把第一问的 \(f\) 数组作为 \(pre\) , 然后新做一个 \(suf\) 数组来枚举后缀

我们令 \(f_{l, r}\) 表示钦定 \(l \sim r\) 必选, 此时的最优解, 相似的, 枚举前后选择的数量, 有

\[f_{l, r} = \max_{x = 1}^{m}\max_{y = 1}^{m} \{ \min(x + y + tot_{l, r}, pre_{l, x} + suf_{r, y}) \} \]

考虑答案, 我们不能简单地用钦定的线段的 \(l, r\) 来处理, 因为有可能会出现线段与钦定线段重叠, 那么我们还需要想办法把他也选上

答案即为 \(\displaystyle\max_{l = 1}^{s_i}\max_{r = s_i + t_i}^{m} f_{l, r}\)

但是这样的复杂度为 \(\mathcal{O} (n^4)\) , 不够优秀

注意到当 \(x\) 一定, 那么当 \(y\) 增大时, \(suf_{r, y}\) 一定单调不增, 利用这个单调性, 我们把 \(y\) 当做一个指针, 即可优化掉一维

具体的, 当 \(x\) 增长, 只有 \(y\) 减小才能找到更优秀的答案

实现

并不难写, 就不写了

总结

状态的设计应当便于处理限制

善于找到新增问题与原问题的共同点, 然后转化问题

善于手动模拟算法来找到问题

单调性优化非常的好用