空间复杂性(Space Complexity)\(\newcommand{\TIME}{\text{TIME}}\)\(\newcommand{\M}{\mathbb{M}}\)\(\newcommand{\SPACE}{\text{SPACE}}\)\(\newcommand{\NSPACE}{\text{NSPACE}}\)
时间复杂性刻画的是计算所需要的时间资源。空间复杂性刻画的是计算所需要的空间资源。对于图灵机来说，空间指的就是所需要用到的纸带上的格子数（对于现在计算机来说，指的是内存（存储）单元的个数）。空间资源和时间资源有很大的区别，其中最重要的是：空间资源是可以重复使用的。我们可以在一个内存单元上写入，并在一段时间后擦除，重写上其它内容。一个需要指数时间的DFS算法所需要的内存空间也只是多项式的，因为DFS是在相同的内存上反复修改上面存储的值。
对于判定问题\(L\)，如果对于任意输入\(x\)，存在确定性图灵机\(\M\)使得计算\(L(x)\)时最多只用到工作带上的\(C\cdot S(|x|)\)个格子（\(C\)为常数），就称\(L\)的空间复杂度为\(O(S(n))\)，\(S(n)\)称为空间函数。注意，以上定义中强调“工作带”，我们不考虑输入带上本来就含有的\(|x|\)个格子。很多时候，工作带所需要的格子数远小于\(|x|\)。但是我们需要假定，图灵机要有能力追踪输入带上读写头的位置（不然这就是一个毫无章法的程序），因此我们至少需要一个长度为\(\log |x|\)的“计数器(counter)”。因此我们默认\(S(n)\geq \log n\)。
和时间复杂性类似，可以定义空间可构造函数：如果存在以\(O(S(n))\)的空间复杂度计算函数\(1^n\to S(n)\)的图灵机，就称\(S(n)\)是空间可构造的(space constructable)；如果存在恰好用\(S(n)\)个格子计算函数\(1^n\to S(n)\)的图灵机，就称\(S(n)\)是完全空间可构造的(fully space constructable)。在空间复杂性里，可以证明，空间可构造和完全空间可构造是等价的。
空间复杂性类
所有确定性图灵机在空间复杂度\(O(S(n))\)下可计算的判定问题构成空间复杂性类\(\SPACE(S(n))\)。
对于判定问题\(L\)，如果对于任意输入\(x\)，存在非确定图灵机\(\N\)使得计算\(L(x)\)时，叠加态中的任何一条路径都只最多用到工作带上的\(C\cdot S(|x|)\)个格子，就称\(L\)在非确定图灵机下的空间复杂度为\(O(S(n))\)。所有非确定性图灵机在\(O(S(n))\)下可计算的判定问题构成空间复杂性类\(\NSPACE (S(n))\)。
\(\SPACE(\log(n))\)称为对数空间类，记为\(\text{L}\)。\(\NSPACE(\log(n))\)称为非确定对数空间类，记为\(\text{NL}\)。\(\bigcup\limits_{C>0}\SPACE(n^C)\)称为多项式空间类，记为\(\text{PSPACE}\)。\(\bigcup\limits_{C>0}\NSPACE(n^C)\)称为非确定多项式空间类，记为\(\text{NPSPACE}\)。
容易发现，因为时间复杂性类\(\text{NP}\)中的问题都是多项式可验证的，所以尽管在确定性上“搜索”可能进行指数时间，却只需多项式的空间。因此\(\text{NP}\subseteq \text{PSPACE}\)。
对于任意空间可构造的函数\(S(n)\)，总有如下关系成立：\(\TIME(S(n))\subseteq\)\(\SPACE(S(n))\subseteq \NSPACE(S(n))\subseteq \TIME(2^{O(S_n)})\)。第一个包含关系是因为，确定性图灵机每一步计算最多多写一格，因此\(S(n)\)的时间最多只能写\(S(n)\)格；第二个包含关系显然，因为确定性图灵机只是一种特殊的非确定性图灵机；为了证明第三个包含关系，可以引入configuration graph(格局图)的概念（此处待补充），构造格局图只需\(2^{O(S(n))}\)的时间，并且可达性只需图的遍历算法。
和时间复杂性类比，可以得到空间谱系定理，证明几乎是完全相同的：如果空间函数\(f,g\)是空间可构造的，并且\(f(n)=o(g(n))\)，那么有\(\text{SPACE}(f(n))\subsetneq \text{SPACE}(g(n))\)。
