复分析 个人笔记（期末复习向）

ZJU数院 2024-2025 复分析补天笔记

所有定理全文默写且会用！！！

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第一章 复分析基本概念

定义

• \(z=x+iy\)

  • \(\mathrm{Re}z=x\)：\(z\) 的实部
  • \(\mathrm{Im}z=y\)：\(z\) 的虚部
  • \(\overline{z}=x-iy\)：\(z\) 的共轭
  • \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)：\(z\) 的模长

• \(D(z_0,r)\)：以 \(z\) 为圆心，\(r\) 为半径的开圆盘，即 \(D(z_0,r) = \{z:|z-z_0|<r\}\)

  • \(D(r) = D(0,r)\)
  • \(\mathbb{D}=D(0,1)\)：单位圆盘

• \(\overline{D}\)：区域 \(D\) 的闭包

• \(\partial D\)：区域 \(D\) 的边界，逆时针方向

• \([z,w]\)：以 \(z,w\) 为端点的线段（起点是 \(z\)）

• \(\gamma: z=z(t),t\in [a,b]\)：复平面上的一条曲线，\(z(a)=z(b)\) 就是闭曲线

• \(\int_\gamma f(z)dz\)：曲线积分，\(\int_\gamma f(z)dz = \int_a^bf(z(t))z'(t)dt = F(z(b))-F(z(a))\)（\(F\) 为 \(f\) 的原函数，即 \(F'(z)=f(z)\)。但是 \(F\) 不一定存在）

• 常函数：\(f(z)=C\)

• 全纯函数（holomorphic function）：\(f'(z)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(z+h)-f(z)}h\) 处处存在。注意只能称一个函数在一个开集上全纯，有边界点的是不可以的。

  • 整函数：在复平面 \(\mathbb{C}\) 上全纯的函数

• 单连通区域：任意两条曲线同伦可以简单理解为没有洞的区域

定理 0. Cauchy-Riemann 方程

设 \(f\) 在 \(z_0\) 全纯，则

\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \]

题

1. \(\star\) 给定 \(w\in \mathbb{D}\)，证明函数 \(F(z) = \dfrac {w-z}{1-\overline{w}z}\) 满足下列性质：
   • \(F: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}\) 且全纯
   • \(F(0)=w,F(w)=0\)
   • 若 \(|z|=1\)，则 \(|F(z)=1\)
   • \(F\) 是双射
2. 设 \(f\) 在开集 \(\Omega\) 上全纯，\(|f|\) 为常值，证明 \(f\) 为常函数。

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第二章 Cauchy 定理及其应用

定理 1. Cauchy 定理

设 \(f\) 在圆盘 \(D\) 上全纯，闭曲线 \(\gamma\subset D\)，则

\[\int_{\gamma}f(z)dz=0. \]

推论 1.

设 \(f\) 在包含圆周 \(C\) 及其内部的区域上全纯，则

\[\int_Cf(z)dz=0. \]

应用

在求积分的时候可以把积分区域补成闭曲线，且满足被积函数在闭曲线里围成的区域中全纯。答案就是另几条边的积分的相反数。一般积分区域是 \(\mathbb{R}\) 都会转成极限然后补成半圆或者矩形，\(\mathbb{R}^+\) 补成扇形或者矩形。见例题。

定理 2. Cauchy 积分公式

设 \(f\) 在包含圆盘 \(D\) 的闭包的一个开集中全纯，\(\partial D\) 为 \(D\) 的正向边界曲线，则

\[f(z) = \dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta, \forall z\in D. \]

推论.

\[f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta. \]

定理 3. Cauchy 不等式

设 \(f\) 在包含圆盘 \(D(z_0,R)\) 的一个开集中全纯，则

\[|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{n!\Vert f\Vert_{\partial D}}{R^n}. \]

其中 \(\Vert f\Vert_{\partial D} = \sup_{z\in \partial D}|f(z)|\)。

定理 4. Liouville 定理

设 \(f\) 是有界整函数，则 \(f\) 是常函数。

定理 5. 解析延拓原则

设 \(f\) 在区域 \(\Omega\) 上全纯，存在 \(z_0\in \overline\Omega\) 和 \(\{z_n\}\subset \Omega\) 满足 \(\{z_n\}\) 两两不同且 \(\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=z_0\)，则 \(f=0\)。

推论.

设 \(f\) 和 \(g\) 都在 \(\Omega\) 上全纯且在 \(\Omega\) 的非空开子集 \(\Omega'\) 上相等（或者在一个收敛点列上相等），则 \(f(z)=g(z),\forall z\in \Omega\)。因此如果 \(f\) 本身定义在 \(\Omega'\) 上而 \(g\) 定义在 \(\Omega\) 上，就可以将 \(f\) 的定义拓展到 \(\Omega\)。即称 \(g\) 为 \(f\) 的解析延拓。

题

1. \(\star\) 证明

   \[\int_0^\infty \sin(x^2)dx = \int_0^\infty \cos(x^2)dx = \frac {\sqrt{2\pi}}4 \]

2. \(\star\) 证明

   \[\int_0^{\infty} \frac{\sin x}xdx = \frac{\pi}2. \]

3. \(\star\) 设 \(f\) 在带状区域 \(\Omega=\{-1<y<1,x\in \mathbb{R}\}\) 上全纯，且

   \[|f(z)|\leq A(1+|z|)^{\eta}, \eta\in \mathbb{R},\forall z \]

   证明对任意整数 \(n\geq 0\)，存在 \(A_n\geq 0\) 使得

   \[|f^{(n)}(x)|\leq A_n(1+|x|)^\eta, \forall x\in \mathbb{R} \]

4. 计算

\[\int_0^\infty e^{-ax}\cos bxdx\\ \int_0^\infty e^{-ax}\sin bxdx \]

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第三章 半纯函数和对数函数

定义

• 半纯函数（meromorphic function）：除有限个点外 \(f'(z)\) 存在

• 奇点（singular）：\(f\) 不全纯的点

  • 极点（pole）：\(|f(z)|\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)
    • 单极点（simple pole）：\(|f(z)|\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0),(z-z_0)f(z_0)=A\)
    • \(m\) 阶极点：\((z-z_0)^{m-1}f(z_0)\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)，但 \((z-z_0)^m f(z_0) = A\)
  • 本性奇点：对任意 \(n\)，\((z-z_0)^nf(z_0)\rightarrow \infty(z\rightarrow z_0)\)
  • \(f\) 的 \(m\) 阶极点等价于 \(\frac 1f\) 的 \(m\) 阶零点

• （\(f\) 在奇点 \(z_0\) 处的）留数（residue）：将 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处展开成有理级数（本性奇点 \(m=\infty\)）

  \[f(z) = \sum_{n=-m}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \]

  记 \(\mathrm{res}_{z_0}f = a_{-1}\)。

• 极点处留数的计算公式：设 \(z_0\) 为 \(f\) 的 \(m\) 阶极点，则

  \[\mathrm{res}_{z_0}f = \lim_{z\rightarrow z_0}\frac 1{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z). \]

  注：本性奇点处的留数只能用定义计算。

定理 6. 留数定理

设 \(f\) 在包含闭曲线 \(\gamma\) 内部区域的开集 \(\Omega\) 上半纯，极点为 \(z_1,\dots,z_N\)，则

\[\int_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^N \mathrm{res}_{z_k}f. \]

应用

比 Cauchy 定理更强的公式，不需要区域内全纯，只需要区域内半纯即可。

但是注意用留数时极点只能落在区域内或者区域外。如果极点在边界上就用不了了。

留数的题

1. \(\star\) 证明

   \[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+a^2}dx = \pi\frac{e^{-a}}a,a>0. \]

2. \(\star\) 证明

   \[\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}. \]

3. 证明

   \[\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi. \]

4. 计算

   \[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{x^2+a^2}dx. \]