二项式系数
定义：
我们在高中时常见的二项式系数的形式是
\[C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
但下文将采用如下的定义：
\[\binom{n}{k} = \begin{cases}\dfrac{n^{\underline{k}}}{k!} & k \ge 0\\\\0 & k < 0\end{cases}
\]
注意这里对 \(n\) 没有做任何限制，意味着 \(n < 0\) 时，\(\dbinom{n}{k}\) 也是有定义的。
性质：
让我们从熟悉的性质开始：
-
（对称恒等式） \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\)
-
（加法公式）\(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}\)
-
（吸纳/提取恒等式）\(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}\)
-
（二项式公式）\((x-y)^n = \sum\limits_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k}\)
之后是关于 \(n < 0\) 的情况：
\[\begin{aligned}
\binom{-n}{k} &= \frac{(-n)^{\underline{k}}}{k!}\\
&= \frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-k+1)}{k!}\\
&= \frac{(-1)^k(n+k-1)(n+k-2)\cdots(n+1)n}{k!}\\
&= (-1)^k\binom{n+k-1}{k}
\end{aligned}
\]
那么就可以总结出
- （上指标反转）\(\dbinom{n}{k} = (-1)^k\dbinom{k-n-1}{k}\)
接下来是一些关于求和的性质：
- （平行求和）\(\sum\limits_{k \le n}\dbinom{r+k}{k} = \dbinom{r+n+1}{n}\)
有限微积分
其实我们也有另一个写法
\[\sum\binom{r+x}{x}\delta x = \binom{r+x}{x-1}+C \]所以
\[{\LARGE\Sigma}_{0}^{n+1}\binom{r+k}{k} \delta x = \binom{r+n+1}{n}-\binom{r}{-1} = \binom{r+n+1}{n} \]
- （上指标求和）
.png)
