相似对角化与合同对角化

news/2024/12/19 18:58:41/文章来源:https://www.cnblogs.com/YipChipqwq/p/18617791

本博客仅做个人笔记。

相似矩阵

定义

在一组基 \(e = (e_1, e_2, \ldots, e_n)\) 下，向量 \(s = (s_1, s_2, \ldots, s_n)^T\) 具有坐标 \(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T\)，此时 \(s = ex\) 。

考虑一个变换矩阵 \(A_{n \times n}\)，使得 \(s'\) 为 \(s\) 在基 \(e\) 下关于 \(A\) 的映射，即 \(s' = As\)，我们也有 \(s = ex, s' = ex'\)，我们可以把 \(A_{n \times n}\) 直接作用于坐标上，即 \(s' = eAx = ex'\) 。

现在我们有一组新基 \(e' = (e_1', e_2', \ldots, e_n')\)，我们希望求得在 \(e'\) 下 \(s\) 的坐标 \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T\)，这很容易，因为 \(s = ex = e'y\)，我们解一个非齐次线性方程组即可得出 \(y\) 。

我们知道 \(s'\) 在基 \(e\) 下从 \(s\) 映射而来的变换矩阵 \(A\)，如何求出在基 \(e'\) 下从 \(s\) 映射而来的变换矩阵 \(B\) 呢？

设 \(P\) 为基变换矩阵，根据基变换公式：

\[e' = eP \]

\[x = Py \]

容易求出 \(P = e^{-1}e'\)，进而得出 \(y = Px\)，带入 \(s' = e'By = eAx\) 有：

\[eAx = e'P^{-1}APy \]

所以我们可以得出重要结论：

\[B = P^{-1}AP \]

因此 \(A\) 和 \(B\) 描述了 \(n\) 维线性空间上同一个线性变换，这种变换是客观存在的，但可以使用不同的基从不同的矩阵进行描述，在不同基下描述同一个线性变换的矩阵称作相似矩阵，即 \(A \sim B\)，上述表达式 \(B = P^{-1}AP\) 就是相似矩阵的表达式。

已知某线性变换在基 \(C = (c_1, c_2, \ldots, c_n)\) 下的矩阵是 \(A\)，求该线性变换在基 \(D\) 下的矩阵 \(B\) 。

我们首先求出 \(C\) 到 \(D\) 的基变换矩阵 \(P\)。

根据 \(D = CP \to P = C^{-1}D\)，使用公式 \(B = P^{-1}AP\) 即可得到相似矩阵 \(B\) 。

性质

反身性：\(A \sim A\)
对称性：若 \(A \sim B\)，则 \(B \sim A\)
传递性：若 \(A \sim B\)，\(B \sim C\)，则 \(A \sim C\)
单位阵相似唯一性：单位阵 \(E\) 只与自身相似
若 \(A \sim B\)，则两者具有相同的特征多项式。
- 证明：
  \(B = P^{-1}AP \to \lvert \lambda E - B \rvert = \lvert \lambda E - P^{-1}AP \rvert\)
  \(\begin{aligned} \lvert \lambda E - P^{-1}AP \rvert &= \lvert P^{-1} (\lambda E)P - P^{-1}AP \rvert \\ &= \lvert P^{-1} (\lambda E - A)P \rvert\\ &= \lvert P^{-1} \rvert \lvert \lambda E - A \rvert \lvert P \rvert \\ &= \lvert \lambda E - A \rvert \end{aligned}\)
这进而推出了更多的性质，此时 \(A\) 和 \(B\) 的特征多项式各个系数均相等，对比对应两者 \(\lambda^{n - 1}\) 的系数和常数项，可知：

\[tr(A) = tr(B) \]
\[\lvert A \rvert = \lvert B \rvert \]
更进一步，两者特征方程相同，特征根相同，有：

\[\lambda_A = \lambda_B \]
若 \(A \sim B\)，如果一方可逆，另一方一定可逆
若 \(A \sim B\)，则 \(A^{*} \sim B^{*}\)
- 证明：
  \(B^{*} = (P^{-1} A P)^{*} = P^{*} A^{*} (P^{-1})^{*}\)
  而 \(P^{*} = P^{-1} \lvert P \rvert\)
  \(\to (P^{-1} \lvert P \rvert) A^{*} (P \lvert P^{-1} \rvert) = P^{-1} A^{*} P\)
容易发现伴随矩阵的基变换矩阵也是 \(P\)，两者伴随矩阵相似。
若 \(A \sim B\)，则 \(A^T \sim B^T\)
- 证明：
  \(\begin{aligned} B = P^{-1}AP \to B^T &= (P^{-1}AP)^T \\ &= P^T A^T (P^{-1})T \\ &= P^T A^T (P^T)^{-1} \\ \end{aligned}\)
该矩阵的基变换矩阵为 \(P^T\)，两者转置矩阵也相似。
若 \(A \sim B\)，则 \(kA \sim kB\)，\(A^m \sim B^m\)，\(p(A) \sim p(B)\)
- 证明较为显然，故略过
若 \(A \sim B\)，则 \(r(B) = r(A)\)
因为基变换矩阵相当于行和列的线性运算，不改变其空间大小，所以他们的秩是相同的。

相似对角化

定义

\(n\) 阶方阵 \(A\) 经过 \(n\) 阶可逆矩阵 \(X\) 的相似变换成为对角矩阵
\(U = X^{-1}AX\) 这一过程称作相似对角化。

因为对角矩阵的优秀性质，他的线性运算相当于各个坐标关于基的线性运算，仅仅具有倍数关系，我们令 \(U = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n), X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\)，\(x_i\) 为列向量。

可以看出

\[AX = XU \to Ax_i = x_i\lambda_i \]

如果 \(A\) 通过可逆矩阵 \(X\) 的相似变换成为了对角阵 \(U\)，那么
的各个元素就是的 \(A\) 的特征值，\(X\) 的各列就是 \(A\) 的特征向量。

这样，对角化问题转化为了求特征值和特征向量问题。但是 \(A\) 和 \(U\) 未必相似，因为 \(X\) 未必可逆，也就是说，相似特征化的前提条件是 \(X\) 可逆。