设计笃㲼

Stable Matching

Formulation：双方各自拥有喜爱顺序 list。

结论：必然存在稳定匹配。

算法：

• 左方一个点的增广流程为：按照喜好不断寻找下一个人，尝试提交申请，如果申请通过则终止增广。
• 右方一个点的审核流程为：检查申请人是否优于当前选择，如果否则驳回，是则通过，并通知原选定者开始增广。

因为如果左侧有人未匹配，则右侧必然有人未匹配，所以算法必然会结束于完美匹配。右方点的匹配结果只会越来越好，所以左侧点一旦被某个右侧点拒绝，则之后也不会再被选择。因此，左侧点匹配者之前的所有人都拒绝过它；右侧点匹配者之前的所有人都没有向它提出过申请（它们已经与在自身偏好中更前者匹配）

特别地，如果左侧所有点的偏好都随机，则期望 \(\dfrac in\) 次即可查询到空点，因此复杂度平方。

Dijkstra & Prim

最优性证明方法：时刻保证当前解可以扩充为某一最优解。

Tree Width

参见 宽体树图。

Graph Minor

Graph Minor（图子式）是通过删点、删边、缩边得到的结构。

Kuratowski-Wagner 定理：平面图是不存在 \(K_5,K_{3,3}\) 子式的图。

Robertson-Seymour 图子式定理：在任意无限图集合中，至少一张图是另一张图的真子式。

Minor-Closed Family（这玩意的译名真不知道是啥，浅编了一个 子式闭族 出来）是子式属于集族的集族。一个集族是子式闭族，当且仅当它有有限个极小禁止图子式（即，一个图属于该集族，当且仅当它不含任何禁止图子式）。因此，一切子式闭族都存在类似 K-W 定理的等价式。

一些子结论：固定一张图，可以 \(O(n^3)\) 判定该图是否是另一张图的子式；存在 \(f:\mathbb{N\to N}\) 满足一切有着至少 \(f(r)\) 树宽的图都有着 \(r\times r\) 的子式。

感觉太意义不明了！

NPC problems

注意：在验证一个问题是 NPC 之前，先要确认它确实是 NP！！！

所有能被使用的 NPC 问题：

独立集；Set Packing（从 \(m\) 个集合中选取最多数目的不交集合）；点覆盖；集合覆盖；3D matching（三元组覆盖三分图）；三及以上染色；Hamilton 环和路径；TSP；subset sum（判定是否有和为某元素的子集）；3-SAT。

独立集的补集是点覆盖。点覆盖容易归约到集合覆盖（点覆盖了邻域中所有边），同理独立集容易规约到 set packing。

3SAT 规约到独立集：每个 clause 的三个变量建三个点互相连边，同一个变量的正负取值之间互相连边，这样合法当且仅当最大独立集包含每个 clause 中的恰一个元素。

3SAT 到 Hamilton 环：对每个变量建一条足够长的路径，左向为真右向为假。自源点向第一条路径的起讫点各连边，第一条路径起讫点向第二条……最后一条起讫点连向汇点，汇点再连回源点。现在如果我们想要强制一条路径的方向，就新建一个点，其自三条路径三个点连来，再连到它们各自下一个点即可。【Hamilton 环是针对有向图定义】。Hamilton 环到 TSP 是容易的。有向 Hamilton 怎么到无向 Hamilton？答曰：拆点，一个点拆成三个点，这样让路径必须从入点走向出点。

3SAT 到 3DM：对每个变量造一堆 chip，强制选中所有奇数位或偶数位之一的所有 chip。clause 可以造两个新点然后强制需要 chip 中的某个点。剩下还有一批点没有被 cover，造一堆两个点的 cleanup 元素连到所有点即可。

3SAT 到 3color：造出 base，true，false 三个基元点连成三元环，对于所有变量造出其自身和其否定，与 base 连成三元环。如果自身与 true 同色则认为其是 true，与 false 同色则相反。clause 要求三个位置至少有一个与 true 同色，于是用 3color 造一个三个 false 的输入无法染色的图电路即可。方法：

(x_1,1),(T,1),(T,2),(1,2),(T,3),(3,x_2),(T,4),(x_3,4),(4,5),(F,5),(1,6),(3,6),(5,6)

3DM 到 Subset Sum：每个 3 pair 对应三个 bit，要求不能出现进位。

Co-NP

NP 问题需要存在某个证据并判定存在解，在不存在解时对一切证据均输出不存在解；Co-NP 则相反，存在证据判定不存在解，存在解时何种证据都无法判定不存在解。