把种了树的位置标记为 \(1\),没种树的位置标记为 \(0\),最终情况肯定是一些 \(0\) 分隔了若干段 \(01\) 相间的串。记录这些串,每次翻转某个串然后将两侧的 \(1\) 更改为 \(0\) 即可实现多种一棵树,每次选更新贡献最大的串翻转。
重点是如何证明正确性。考虑归纳法,每次在最前面多加一个位置,也就是说对于当前的每个后缀,我们的贪心策略都是最优的。然后再去反证,假设加了最前面这个位置后最终得到的情况比最优情况劣。
寻找从左往右第一个不同的串。由于其中一个串可能比较长,我们可以在较短串结尾后的那个 \(0\) 处停下来,这样在相当于是其中一种情况多翻转了一次,而后面部分少种了一棵树。
不妨假设是最优解多翻转了一次,少翻转一次同理。此次翻转的贡献为 \(w\),那么最优解在后面部分多种一棵树的贡献肯定是 \(\leq w\) 的。而劣解处理的后缀已经证明是最优的了,所以最优解不可能更优,导出冲突。