[AHOI2018初中组] 球球的排列

前言

紫题, 启动!

转化题意

对于 \(n\) 个物品, 每个物品拥有特征值 \(a_i\) , 其编号为 \(i\)
一个合法的排列定义为 : \(\forall i \in [1, n) , a_{p_i} \cdot a_{p_i + 1}\) 不是一个完全平方数
求合法排列的数量

这个题听别人讲过, 一如既往地忘掉了

怎么做呢?
看了下 \(\rm{TJ}\) 赤了 \(10\) 分钟的石

考虑根据完全平方数的性质进行一个处理 : 对于 \(a\) 数组中的每一个数字, 将其的所有质因数的偶次消掉, 那么对于现在的 \(a\) 数组, 只有相等的数对才满足原数对乘起来是一个完全平方数

那么你发现数组变成了一个多重集, 我们要计算的是所有多重集排列中, 满足相邻数字不等的方案数

这个问题其实很典啊, 考虑正难则反算不满足条件的方案数, 令 \(f(k)\) 表示「至少」有 \(k\) 对相邻且相等的数对的方案数, 然后常见转化秒了
如何计算 \(f(k)\) ? 我们考虑「钦定」\(k\) 对相邻且相等的数对, 其他的直接乱搞

然后就不会做了, 然后去讨论区问, 然后被金钩爷震撼到了

与某篇题解一样, 我们考虑先用柿子表示
定义 \(m\) 为颜色总数, \(x_i\) 表示颜色为 \(i\) 的元素数量, \(y_i\) 表示对于颜色 \(i\) , 「钦定」\(y_i\) 个相邻对存在
对于一组确定的 \(y\) , 方案数为:

\[\frac{n - \sum_{i = 1}^{m} y_i}{\prod_{j = 1}^{m} (x_i - y_i)! } \prod_{i = 1}^{m} {x_i - 1 \choose y_i} n! \]

解释一下,

\(\displaystyle \prod_{i = 1}^{m} {x_i - 1 \choose y_i}\) : 你发现把一个相同且相邻的对看做一条无向边, 连一条边相当于把一个点加进一个连通块使得这个图不存在环, 同颜色元素个数为 \(x_i\) , 那么最多可以加 \(x_i - 1\) 条边, 组合数选一下即可, 肯定也是不区分顺序的任意选择
\(\displaystyle \frac{n - \sum_{i = 1}^{m} y_i}{\prod_{j = 1}^{m} (x_i - y_i)! }\) : 你发现把一个相同且相邻的对看做一条无向边, 连一条边相当于把一个点加进一个连通块使得总的元素数量 \(-1\), 所以「钦定」\(y_i\) 个相邻且相同的对一定会留下 \(x_i - y_i\) 个 \(i\) 颜色的元素, 做一个多重集排列即可
\(\displaystyle n!\) : 本题中的本质不同定义为编号不同, 显然的把按照上面规则搞出来的方案全排列一下仍然符合要求