虚树 Virtual Tree

更新日志

2025/01/07：开工。

---

概念

在很多树上问题中，我们会发现，实际需要的，只有几个关键点。

那么我们就可以针对这些关键点进行操作。更具体地，建一棵规模更小的，但是仍能完成要求的浓缩过的树，即为虚树。

思路

简介

首先，常识可得：除了关键点，关键点两两的 \(\text{LCA}\) 也需要储存重要信息。

所以建立虚树的关键问题就是：找 \(\text{LCA}\)、按原关系建树。

下面介绍两种构造方案。

二次排序

\(O(m\log n)\)，\(m\) 为关键点数。

大概过程就是：

• 关键点按 \(\text{DFS}\) 序排序。
• 相邻两点求出 \(\text{LCA}\)，加入序列。完成后去重，序列中的节点就是虚树中的节点了。
• 对于每两个相邻点 \(x,y\)，连接 \(\mathrm{LCA}(x,y)\) 和 \(y\)。

下面证明第二和第三过程。

首先，可以想象，按 \(DFS\) 序排序后，相邻的节点要么是祖先关系、要么是兄弟关系（很废话），且从左向右排开。假如二者跨了子树——总会有这样的点——就会把两棵子树的父节点加入，而它也是任意左子树点和任意右子树点的 \(LCA\)。感性理解即可。

然后，我们分讨一下第三过程：

• \(x,y\) 为祖先关系，那么直接连边显然无问题，且二者之间没有别的关键点了。
• \(x,y\) 非祖先关系，\(\text{LCA}(x,y)\) 显然也应该是 \(y\) 的祖先。且二者之间显然也没有别的关键点了，因为 \(x,y\) 在 \(\text{DFS}\) 序上相邻。可以大概想象一下。
• 发现第一个点没有连边，但是作为 \(\text{DFS}\) 序最小的，它必然是根节点，所以无需主动连边。

证毕。不难发现虚点个数为实点个数两倍。

单调栈

类似于笛卡尔树之类的，我们考虑维护虚树上的一条链。

首先，我们把原根节点加入进去，确保正确性。

我们考虑加入一个节点的情况：

• 若栈顶节点是新加入节点的祖先，直接入栈。
• 否则：
  • 若栈顶元素 \(\text{DFS}\) 序大于 \(\text{LCA}\)，说明它是当前节点的一个兄弟节点：
    • 若次大元素仍大于 \(\text{LCA}\)，将栈顶元素与次大元素连边，弹出。
    • 否则，说明当前栈顶元素的父节点应为 \(\text{LCA}\)，连边，弹出。
  • 若栈顶元素 \(\text{DFS}\) 序小于 \(\text{LCA}\)，说明此时 \(\text{LCA}\) 还没入栈，将其加入后，再把当前节点加入即可。

最后剩下的链里的节点依次连边，虚树就构建好了。