主方程介绍

参考

1. Stochastic Numerical Methods: An Introduction for Students and Scientists, Ch8, Raul Toral and Pere Colet.
2. https://spaces.ac.cn/archives/4598

主方程推导

离散形式

考虑一个粒子，其可取状态为全体整数集\(Z\)，其状态转移是一个马尔可夫过程。假设这个马尔可夫过程满足如下光滑性假设：
设在时间t时粒子处于状态i，则粒子在(t, t+dt)区间内只经历一次状态跳跃到达状态j的概率可以写为

\[P = w(i \rightarrow j, t)dt + O(dt^2) \]

如果\(w(i \rightarrow j, t)\)和t无关，我们写为：

\[P = w(i \rightarrow j)dt + O(dt^2) \]

考虑\(\frac{\partial p(i, t)}{\partial t}\)，我们有：

\[p(i, t+dt) = p(i, t)(1-\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j)dt) + \sum_{j \neq i}p(j, t)w(j \rightarrow i)dt + O(dt^2) \]

于是，

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = -\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j)p(i, t) + \sum_{j \neq i}w(j \rightarrow i)p(j, t) \]

定义\(W_{i,i}=-\sum_{j \neq i}w(i \rightarrow j), W_{i,j}=w(j \rightarrow i)\)，我们将上式写为

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = \sum W_{i,j}P(j,t) \]

写为矩阵形式：

\[\frac{\partial P(t)}{\partial t} = W P(t) \]

其中\(P(t)=(...,p(-1,t), p(0,t), p(1,t),...)^T\)；注意W所有的行之和为0。结合初始条件\(P(0)\)，可以求解。
也可以定义\(J(i \rightarrow j)=\sum_{j \neq i}w(j \rightarrow i)p(j, t) - w(i \rightarrow j)p(i, t)\)，将方程写为

\[\frac{\partial p(i, t)}{\partial t} = \sum_{j \neq i} J(i \rightarrow j) \]

这里求和也可以取i。

连续形式

\[\frac{\partial f(x, t)}{\partial t} = \int w(r \rightarrow x)f(r, t) - w(x \rightarrow r)f(x, t) dr \]

从参考2亦可得到类似形式.

生成函数方法

当状态空间数目很大时，求解一组方程绝非易事。但生成元方法可以将一组方程转化为一个多维PDE的求解问题。定义

\[G(s,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}p(n,t)s^n \]

容易发现\(G(1,t)=\sum p(n,t)=1\)。如果将\(G(s,t)\)看为定义在\((-1,1) \times (0,\infty)\)上的二维函数，则这是右边界条件。而初始条件\(G(s,0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}p(n,0)s^n\)由初始分布唯一确定。
更进一步，我们在右边界上的条件可以和矩联系起来：

\[\frac{\partial G(s,t)}{\partial s} \mid_{s=1} = \sum_n p(n,t)n = E[\epsilon (t)] = <n(t)> \]

\[\frac{\partial }{\partial s} s\frac{\partial G(s,t)}{\partial s} \mid_{s=1} = <n^2(t)> \]

如果这些矩信息可知，则能进一步给定边界条件。
现在考虑在区域内满足的