2025寒假数学

最大公约数

欧几里德算法

结论：\(\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, a \bmod b)\) 。

[!证明]
1.证明 \(\operatorname{gcd}(a, b) | \operatorname{gcd}(a\bmod b, b)\)：
设 \(d = \operatorname{gcd}(a, b)\)，\(a = md\)，\(b = nd\)。
设 \(r = a\bmod b\)，则有 \(a = kb + r\)，则 \(r = a - kb\)。
\(r = md - k(nd) = d(m - nk)\)，则 \(d | r\)。
令 \(g = \operatorname{gcd}(a\bmod b, b)\)，则 \(d | g\)。
2.证明 \(\operatorname{gcd}(b, a\bmod b) | \operatorname{gcd}(a, b)\)：
设 \(r = gt\)，则 \(a = kb + r = k(gm) + gt = g(mk + t)\)，则 \(g | a\)，则 \(g | d\)。
3.得出结论
因为 \(d | g\) 且 \(g | d\)，则 \(d = g\)，即 \(\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, a \bmod b)\)。

代码：

int gcd(int a, int b){//gcd(a, 0) = 0return (b == 0 ? a : gcd(b, a % b));
}

时间复杂度：\(O(\log\max(a, b))\)。

[!证明]

• \(a < b\) 则 \(\operatorname{gcd}(a, b) = \operatorname{gcd}(b, a\bmod b)\)。
• \(a\ge b\) 则 \(\operatorname{gcd}(a, b) = \operatorname{gcd}(b, b/bmod a)\)，而至少会让 \(a\) 折半，此种情况出现次数小于等于 \(\log a\)。
  而第一种情况出现后必会出现第二种情况，而第二种情况出现次数小于等于 \(\log a\)，若每次出现第二种情况后都出现第一种情况，则总递归时间复杂度为 \(O(\log\max(a, b))\)。

扩展欧几里德算法

概念：常用于求 \(ax + by = \operatorname{gcd}(a, b)\) 的一组可行解。