萌新の概率与期望

不说闲话

概率和期望一直是自己非常薄弱的板块，最早学的时候其实就没有完全听懂。

导致打模拟赛，甚至是 ABC 的时候遇到概率期望相关的题基本上都是绕道走，有时候暴力都打不出来。

重修一下概率论，接下来是做题笔记，后面也会整理成讲题。

P1365 WJMZBMR打osu! / Easy

期望入门题。

题目大意

有一个长度为 #N# 的字符串，由 o，x 和 ? 组成。

定义总分数为：字符串中每一段最长连续 o 字串长度的平方和。

? 的含义是该字符不确定，是 o 或 x，各有 \(50 \%\) 的可能性。

求总分数的期望值。

解题思路

很容易想到 dp。

• 设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个字符分数的期望值；
• 设 \(g_i\) 表示前 \(i\) 个字符中以 \(i\) 为最后一个字符的连续 o 字串的期望长度。

接下来就可以分类讨论进行状态转移：

\( \begin{cases}s_i=o \begin{cases}f_i= f_{i-1}+ 2\times g_{i-1} +1 \\ g_i=g_{i-1}+1 \end{cases}\\ \\s_i=x \begin{cases}f_i= f_{i-1} \\ g_i=0 \\\end{cases}\\ \\s_i=?\ \\begin{cases}f_i=f_{i-1}+g_{i-1}+0.5 \\ g_i=0.5\times g_{i-1} + 0.5 \end{cases}\\ \end{cases} \)

时间复杂度 \(O(N)\)