各种DP分类

基本原理

三个条件：

1. 最优子结构：能将大问题分解成小问题，并且大问题的最优解能通过小问题的最优解构成。
2. 无后效性：已经求解的子问题，不会再受到后续决策的影响。
3. 子问题重叠：可以用数组存下重叠的子问题来提升效率。

基本思路：

• 将原问题分解成若干个阶段，找出每个阶段对应的子问题的特征（称为状态）
• 找每个状态可能的决策，即各状态之间的转移方式（称为状态转移方程）
• 找方程的边界，确定转移的顺序。

（可以按顺序递推着写，不好确定顺序时也可以记忆化搜索）

本质上可以对应到图上，状态为节点，决策为边，构成DAG，按拓扑序递推。

线性DP

LIS & LCS

LIS（Longest Increasing Subsequence 最长上升子序列）

计算序列\(A\)的LIS

Sol：

定义\(f_i\)表示考虑到前\(i\)个数,以第\(i\)个数结尾的LIS长度（状态）。

\(f_i=\max\limits_{j<i \land a_j<a_i} f_j+1\)（状态转移方程）

\(f_1=1\)（边界）

从前往后转移即可（顺序）。

最后\(ans=\max\limits_{i=1}^n f_i\)

\(O(n^2)\)

Another Sol：

上面的算法太慢了，考虑优化。

记\(f_i\)表示所有长度为\(i\)的LIS最后一项的最小值，特别地，若长度为\(i\)的LIS不存在，则\(f_i=INF\)

下面证明：随着\(i\)增大，\(f_i\)单调递增。

运用反证法。假设存在\(x<i\)，使得\(f_x>f_i\)，那么在以\(f_i\)结尾的长度为\(i\)的LIS中可以分离出以\(f_i\)结尾的长度为\(x\)的LIS，这与\(f_x\)的最小性矛盾。所以命题得证。

现在来考虑以\(i\)结尾的LIS的长度\(dp_i\)，由于我们要计算所有满足\(a_j<a_i\)的\(j\)中\(dp_j\)的最大值，不妨设最大的\(dp_j=x\)。

由于\(a_i>a_j \land f_x \leq a_j\)，故总有\(a_i>f_x\)

又由于\(f_i\)单调递增，因此我们要找到最大的\(x\)满足\(f_x<a_i\)，考虑二分。

二分出\(x\)后，\(dp_i \gets x+1\)即可。还要更新\(f\)，我们只需更新\(f_{dp_i}\)，这是因为\(f_1,f_2 \dots f_{dp_i-1}\)都小于\(a_i\)，\(f_{dp_i}\)是第一个大于等于\(a_i\)的。

\(O(n\log n)\)

其他类似问题，最长下降子序列，最长不升子序列，最长不降子序列，考虑的方式是类似的。所以记住LIS的推导即可。

LCS（Longest Common Subsequence 最长公共子序列）

求序列\(A\)和序列\(B\)的LCS

Sol：

定义\(f_{i,j}\)表示考虑序列\(A\)中的前\(i\)个以及序列\(B\)中的前\(j\)个时LCS的长度。

考虑转移：

\[f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i,j-1},f_{i-1,j-1}+[a_i=b_j]) \]

前两项是继承，第三项是尝试拓展。

边界：\(f_{0,0}=0\)

从前往后转移即可。

\(O(n^2)\)

Another Sol：

上面的算法太慢了，考虑优化。

我们把序列\(A\)离散化成一个排列，序列\(B\)与之对应。

再将排列中的每个数对应到它的下标，则序列\(A\)变成一个从\(1\)到\(n\)的序列，序列\(B\)与之对应。

此时LCS长度不变（这由映射关系是显然的），并且注意到LCS的长度等于序列\(B\)的LIS的长度。

于是转到对LIS的优化。

（注意序列\(B\)中的元素要都在序列\(A\)中出现过才能使用这种方法）

\(O(n\log n)\)

背包

01背包

\(n\)个物品，背包容量为\(m\)，每个物品有体积\(v_i\)（有时也叫重量或者其他类似概念）和价值\(w_i\)，每个物品只能取\(1\)次，求在物品总体积不超过背包容量的情况下能得到的最大价值。

Sol：

定义\(f_{i,j}\)表示考虑了前\(i\)个物品，背包容量为\(j\)时可以得到的最大价值。

\(f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-v_i}+w_i)\)

前一项是继承，后一项是尝试做选择第\(i\)个物品的决策。

\(f_{0,0}=0\)

从前往后转移即可。

\(O(nm)\)

代码实现可以压掉第一维，但注意转移顺序，要倒着转移（显然的，看转移方程）。

回退背包

自己起的名字。可能不叫这个。

01背包算好后其中的物品是无序的，可以随便钦定一个物品作为最后一个加入的，然后倒着跑背包撤销这个物品的影响。

注意这个东西只能在信息支持简单撤销时能用，比如加法改成减法，求\(\max\)之类的就不行了。

P4141 消失之物

完全背包

与01背包类似，但一个物品可以取无限次。

有两种解决方式：

The First Sol：

把每种物品拆成每\(2^k\)个一组（二进制分组），显然分的组是有限个，对这些组跑01背包。

The Second Sol：

同01背包定义\(f_{i,j}\)

\[f_{i,j}=\begin{cases} f_{i-1,j} & j<v_i\\ f_{i,j-v_i}+w_i & Otherwise. \end{cases} \]

注意到与01背包的区别只在于做决策时的下标。

第一维同样可以压掉，但是注意转移顺序，正着转移即可。

\(O(nm)\)

多重背包

与01背包类似，但第\(i\)个物品有\(s_i\)个。

Sol：

考虑二进制分组，每\(2^k\)个分一组，最后不足的单独分一组。

可以证明这样可以组合出每一种决策。

然后转化为01背包做。

\(O(nm\log s)\)

混合背包

01背包、完全背包、多重背包混在一起。

Sol：

分类讨论一下，把三种代码拼在一起。

或者都用二进制分组。

二维（多维）费用背包

在背包物品要消耗体积外还有其他费用（比如重量、时间等）。

Sol：

多开几维，同样可以把枚举第\(i\)个物品的第一维压掉。

分组背包

与01背包类似，但是每组内的物品只能选一个。

Sol：

每组之内做一次01背包。

具体而言，定义\(f_{i,j}\)表示考虑到第\(i\)组，背包容量为\(j\)时能获得的最大价值。

每一组内枚举其中的物品尝试转移。

更一般的线性DP

难点在于消除可能的后效性。

在线性DP中我们通过观察题目性质和优化状态设计来做到这一点。

有时会设计出形如\(f_{i,s}\)的状态表示考虑了前\(i\)个，最后一组的状态为\(s\)时的最优解，一般可以把\(s\)这一维优化掉。

区间DP

区间DP其实是特殊的线性DP，以区间长度为阶段。

基本思想是从小区间转移到大区间。

一般很板，就是从小到大枚举区间，然后枚举断点转移。

状态一般设为\(f_{l,r}\)表示\([l,r]\)这段区间的最优解。

有二维的形式，也类似，状态设为\(f_{x_1,y_1,x_2,y_2}\)表示左上角为\((x_1,y_1)\)，右下角为\((x_2,y_2)\)的矩形的最优解，枚举断点改为枚举断开的行或列。

处理环

一般断环成链，将原数组复制一份接在后面即可。

转移涉及当前区间最值

可以看做是在笛卡尔树的结构上进行DP。

状压DP

本质是将一种状态压缩为一个数进行DP，除此之外与其他DP类似。

注意可以预处理出所有可行状态以提高运行效率。有时这样复杂度才正确。

高级的状压：插头DP。

树形DP

一般的树形DP

只是将DP的操作放到树上，利用树很好的递归性质求解。

一般定义状态为\(f_{u,s}\)表示在\(u\)的子树内限制为\(s\)的最优解。

尝试从\(son/fa\)转移。

树上背包

就是把背包放到树上。

定义状态为\(f_{u,i,j}\)表示在\(u\)的子树内，考虑了前\(i\)个儿子，背包容量为\(j\)时能获得的最大价值。

转移：\(f_{u,i,j}=\max\limits_{v \in son_u,k \le j\land k\le siz_v} f_{u,i-1,j-k}+f_{v,siz_v,k}\)

注意边界，手推一下。

第二维可以压掉，但要倒序枚举\(j\)（显然的，看转移方程）。

树上换根

也叫二次扫描，通常要两次DFS。第一次进行一些预处理，第二次开始DP

转移时可以考虑从父亲转移到儿子（因为一般以\(1\)为根时的答案可以在第一次DFS后简单地算出来，然后向下转移）。

关注换根时答案的变化量。

数位DP

问题特征

• 目的是统计满足某种限制的数的个数。

• 限制是针对数位的。

• 提供统计的区间或上界。

• 上界很大，但只看数位个数可以接受。

基本原理

有一个通用答案数组，其中记录在计数过程中大量重复出现的过程的答案（如统计\(1000\)到\(1999\)的答案和\(2000\)到\(2999\)的答案，后三位都是\(000\)到\(999\)，可以单独记录下来）。

这个通用答案数组根据题目限制进行DP

区间的询问通常拆成两个区间相减。

统计答案部分可以记忆化搜索，也可以递推。从高到低枚举每一位，注意贴上限时的处理（如上限为\(12345\)，现在填的前三位为\(123\)）。

部分套路：

第\(i\)位上能填的数与前面填的数相关。

定义状态为\(f_{i,s,op}\)表示当前考虑到第\(i\)位，前缀的状态为\(s\)，第\(i\)位与前缀的关系为\(op\)。

根据题意尝试转移。

还可以尝试继续压缩常数，参数里面能相互推的压在一起。

记忆化搜索

记搜大法吼！

记搜长得很板，方便拓展。

一般先将边界数字拆到数位上，然后从高位到低位填数。用个数组记忆化一下。

一般有以下形参：

• \(pos\)：当前枚举到的位置。

• \(lim\)：第\(pos\)位是否受限（前几位是否贴上界）。初始时可以理解为前面都贴了\(0\)的上界。

• \(lead\)：第\(pos\)位前面是否有前导零。前导零与答案有关时才记，零只有在不是前导零时才算贡献。

接着是根据题意得到的限制条件，记搜时要作为状态的一部分塞到形参里以及状态里。

考虑用于记忆化的数组\(f\)，\(f_{i,op}\)表示当前\([len,pos+1]\)都填好了，且满足限制\(op\)，\([1,pos]\)随便填（这就要求!lim&&!lead(没有限制)才能返回\(f\)）的答案。

计数DP

特征：计算满足限制的方案总数。

注意计数时要求的不重不漏。有重复时考虑容斥减掉或者设计一种DP顺序使方案不重复。

一般是数学推式子再套上DP

概率期望DP

就是概率期望相关的数学推式子套上DP

一些套路：

对于概率DP，一般是正着DP，即定义状态\(f_i\)表示从初状态到状态\(i\)的概率。

对于期望DP，一般是倒着DP，即定义状态\(f_i\)表示从状态\(i\)到末状态的期望。（有些题目也可以正着DP,但是有些麻烦）

插头DP

连通性相关的状压DP。

适用于各种网格覆盖相关且允许状压的问题。

SOS DP

Sum Over Subset DP，子集和DP。是特殊情况的高维前缀和。

每一维只是\(0\)/\(1\)的情况比较常见，比如二进制数视作集合，然后求\(a_i\)中子集的和。

表述更为清晰一点的例子是，求\(a_{1\dots n}\)中有多少个\(i\)满足\(a_i \And k=k\)

复杂度与值域有关，设值域为\(V\)，则复杂度为\(O(V\log V)\)。

现在来讲做法，设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)位与\(j\)可以不同，其他位必须相同的子集的和。

那么就有分讨了：

1. \(j\)的第\(i\)位为\(0\)，那么必须选\(0\)，\(f_{i,j}\)加上\(f_{i-1,j}\)。

2. \(j\)的第\(i\)位为\(1\)，则\(f_{i,j}\)加上\(f_{i-1,j}+f_{i-1,j\oplus 2^i}\)

这样就不重不漏地数完了。

超集和DP也是类似的，分讨一下就做完了。

和数位DP有一定相似性，但侧重点不同。数位DP擅长处理一段连续区间中的数数问题，而SOS DP擅长处理不那么连续，而是较为离散的点的数数问题，而且点的权值可以任意给，缺点是复杂度太高。

有后效性的DP的处理方法

一般是按某个值排序（如DP值，而且不是真的排序，只是规定了顺序）。

然后可以按照类似跑最短路的方式转移。