2025 郑州一测 T18: 双变量问题探讨

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已知函数 \(f(x) = \log_a x(a>0, a\neq 1)\), \(y = f(x)\) 关于 \(y=x\) 对称的函数记为 \(g(x)\).

(I) 若 \(a>1\), 方程 \(f(x)-g(x)=0\) 有且仅有一个实数解, 求 \(a\) 的值.

(II) 讨论方程 \(g(x) = x_a = 0\) 在 \((0, +\infty)\) 上实数解的个数.

(III) 若 \(a=e\), 设函数 \(F(x) = 2\sqrt x - f(x)\), 若 \(F'(x_1) = F'(x_2)(x_1\neq x_2)\), 求 \(F(x_1) + F(x_2)\) 的取值范围.

第一问

首先我们知道 \(g(x) = a^x\). 条件显然等价于 \(f(x) = g(x) = x\) 有且仅有一个实数解. 也即 \(f(x), g(x)\) 与 \(y = x\) 相切

那么有且仅有一个 \(x_0\) 满足 \(a^{x_0} = x_0, a^{x_0}\ln a = 1\).

那么我们知道 \(x_0 = \frac{1}{\ln a}\), 代入 (1) 式, 即 \(a^{\frac {1}{\ln a}}=\frac1{\ln a}\).

直接解显然没得写, 但注意到有: \(a^{\frac{1}{\ln a}}=(\mathrm e^{\ln a})^{\frac{1}{\ln a}}=\mathrm e\), 那么 \(a=\mathrm e^{\frac {1}{\mathrm e}}\).

第二问

非常平凡. 两边同时取对数, 经典的 \(\frac{\ln x}{x}\) 的图像.

第三问

正片开始.

首先按照常规思路写出来 \(F'(x) = \frac{1}{\sqrt x} - \frac 1x\), 我考场上试图进行齐次化构造, 但压根构不出来. 我思考了一段时间, 仍然无法弄清楚为什么这样是不可行的.

场下补题的时候, 我想起了之前看到的一篇博客中的一句话:

这个分式看起来就很烦, 我们考虑换元掉它.

于是我明白了. 令 \(t=\frac {1}{x}\), 那么 \(F'(x_1) = F'(x_2)\) 等价于 \(t_1(1-t_1) = t_2(1-t_2)\).

平凡的二次函数, 我们得知 \(t_1 + t_2 = 1\).

带回原式进行化简得到 \(F(x_1)+F(x_2) = \frac{2}{t_1}+\frac{2}{t_2}+2\ln(t_1t_2)\), 运用齐次化手法容易转化为 \(4+\frac{2t_1}{t_2}+\frac{2t_2}{t_1}+2\ln(t_1t_2)\), 运用均值不等式可以发现原式 \(>8-4\ln 2\).

总的来看, 运用换元手法, 可以揭示看起来复杂的函数背后的实质, 从而解答问题.

在 24 版金考卷的某一套原创题上, 我也遇见了类似的换元处理手法, 当我当时并没有在意. 这些平日掠过的细碎之处在最后给了我致命一击.

但是, 我对于双变量问题的理解仍然很浅薄, 还需要大量的练习进行深化理解. 如果读者有自己的见解, 也恳请在评论区提出.