元方树。
下文除特殊强调外，所有图皆为无向图。
引入
- 割点：在图中，删除某个点后，导致图不再连通的点。
- 点双连通：在一张图中，取两个点 \(u\)、\(v\)，无论删去哪个点（除 \(u\)、\(v\) 自身外），\(u\)、\(v\) 都能连通，我们就说 \(u\) 和 \(v\) 点双连通。
- 点双连通分量（后文称点双）：对于一个无向图中的极大点双连通的子图，我们称这个子图为一个点双连通分量。
（from OI Wiki）
（下文中 \(u \leftrightarrow v\) 表示 \(u\) 和 \(v\) 在同一个点双里，这只是我个人的写法，实在懒得写了）
但点双性质实在不优秀，\(a \leftrightarrow b, b \leftrightarrow c\) 并不能推出 \(a \leftrightarrow c\)。
定义两条边相邻为：
- 两条边有公共顶点。
定义两条边属于同一个点双：
- 设两条边为 \((a, b)\)、\((c, d)\)，满足 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{c, d\}, x \leftrightarrow y\) 就称 \((a, b)\) 和 \((c, d)\) 属于同一个点双（即 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)）。
发现把边的定义整出来似乎就优秀了。
结论 \(1\)：若 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\) 且 \((c, d) \leftrightarrow (e, f)\)，则 \((a, b) \leftrightarrow (e, f)\)
证明：
- 根据定义，\((a, b) \leftrightarrow (e, f)\) 等价与 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{e, f\}, x \leftrightarrow y\)，
- 又 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)、\((e, f) \leftrightarrow (c, d)\)。
- 则任意的二元组 \((x, y)\)（这是二元组，不是边），一定满足 \(x\)、\(y\) 都与 \(c\)、\(d\) 两点属于同一个点双。
- 我们从图中删掉 \(c\)、\(d\) 中的任意一个都可以通过另外一个点从 \(x\) 到达 \(y\)。
- 如果删除的点不是 \(c\)、\(d\) 也能到达（\(x \leftrightarrow c\)、\(y \leftrightarrow c\)、\(x \leftrightarrow d\)、\(y \leftrightarrow d\)， 不连通才怪……）。
- \(a \leftrightarrow e\)、\(a \leftrightarrow f\)、\(b \leftrightarrow e\)、\(b \leftrightarrow f\)。
- 得证。
（借用一下 OI Wiki 的图，侵删）
众所周知，一条返祖边（非树边）可以使原图多一个点双。
那什么时候才能使两个点双合并成一个点双呢？
考虑把所有边都对应一个点，如果产生了一个点双则将所有在原图中相邻的的边对应的点连起来（即上图蓝边）。
只要蓝边相邻就可合并为同一个点双。
结论 \(2\)：对于树上的一个点双，深度最浅的点只有一个儿子。
证明：
使用反证法。
- 若一个点双深度最浅的点有超过一个儿子。
- 则其儿子中任意两个点均可以通过删掉父亲使其不连通，与定义不符。
- 则一个点双深度最浅的点不会有超过一个儿子。
- 得证。
正题
概念
圆方树是什么？
把一张图的所有点双统计出来，并对于每一个点双，新建一个方点（原图的点为圆点）。
将点双内所有圆点之间的边断开（点双外不断），并连到新建的方点上，如下图。
（好吧还是 OI Wiki 的）
实现
跑点双最好用的还是 tarjan 啊……
记 \(\text{dfn}_i\) 为点 \(i\) 的 dfs 序。
\(\text{low}_i\) 为点 \(i\) 能够通过非树边到达的 dfs 序最小的点的 dfs 序（包括它本身）。
结论 \(3\)：根据 结论 \(2\)，对于任意一条树边 \((u, v)\)，满足 \(u \leftrightarrow v\) 且 \(u\) 为点双最浅的点。
均满足 \(\text{low}_v = \text{dfn}_u\)（或 \(\text{low}_v \ge \text{dfn}_u\)）。
证明：
- 既然 \(u\)、\(v\) 属于同一个点双，则其必有一条非树边连向上面。
- 则 \(v\) 点必能通过非树边走到 \(u\)。
- 它无法继续通过树边走到下面（结论 \(2\)）。
- 也无法通过另外一条非树边走到上面（若有非树边能通向上面，则 \(u\) 就不是点双最浅点了）。
后面基本就跟普通 tarjan 一样了，贴个代码（点双模板）：
void tarjan(int u) {st.push(u); // 把节点放到栈里dfn[u] = low[u] = ++tot; // 更新两个值for (int v : g[u]) {if (!dfn[v]) { // 没访问过tarjan(v); // 访问low[u] = min(low[u], low[v]); // 更新if (low[v] >= dfn[u]) { // 改成 == 也行d_tot++; // 点双个数加 1d[d_tot].push_back(u); // 更新点双while (st.top() != v) { // 用栈死命弹int t = st.top();d[d_tot].push_back(t);st.pop();}d[d_tot].push_back(v);st.pop();}} elselow[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新}if (g[u].size() == 0) { // 特判单独一个点d_tot++;d[d_tot].push_back(u);}
}
建一颗圆方树也就简单了（前文有注释的就没写了）：
void tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++tot;st.push(u);for (int v : g[u]) {if (!dfn[v]) {tarjan(v);chmin(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {h_tot++; // 建立方点h[h_tot].push_back(u); // 无向图h[u].push_back(h_tot);while (st.top() != v) {int t = st.top();h[h_tot].push_back(t);h[t].push_back(h_tot);st.pop();}h[h_tot].push_back(v);h[v].push_back(h_tot);st.pop();}} else {chmin(low[u], dfn[v]);}}
}
一个技巧：区分圆点方点的最好方法就是把方点的下标从 \(n + 1\) 开始，即 h_tot 的初值赋为 \(n\)。
胜利！！！
例题
洛谷 P4320 道路相遇
建一棵圆方树。
观察到 \(u\) 到 \(v\) 的路径的必经点就是圆方树上 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的圆点个数。
题目就转换成了一个树上路径问题。
倍增 LCA 即可。
namespace zqh {
const int N = 1000005;int n, m, q, dfn[N], low[N], tot, h_tot, f[N][25], dep[N];
stack<int> st;
vector<int> g[N], h[N];void tarjan(int u) { // 圆方树，注释前文有写dfn[u] = low[u] = ++tot;st.push(u);for (int v : g[u]) {if (!dfn[v]) {tarjan(v);chmin(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {h_tot++;h[h_tot].push_back(u);h[u].push_back(h_tot);while (st.top() != v) {int t = st.top();h[h_tot].push_back(t);h[t].push_back(h_tot);st.pop();}h[h_tot].push_back(v);h[v].push_back(h_tot);st.pop();}} else {chmin(low[u], dfn[v]);}}
}void dfs(int u, int fa, int dp) { // LCA，不用说啦吧f[u][0] = fa;dep[u] = dp;for (int x : h[u]) {if (x == fa)continue;dfs(x, u, dp + 1);}
}void build() {int t = log2(n);for (int i = 1; i <= t; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];}}
}int lca(int x, int y) {if (dep[x] < dep[y])swap(x, y);int dep_max = 0;while ((1 << (dep_max)) <= dep[x]) {dep_max++;}for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) {x = f[x][i];}}if (x == y)return x;for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {if (f[x][i] != f[y][i]) {x = f[x][i];y = f[y][i];}}return f[x][0];
}int dis(int x, int y) {return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca(x, y)];
}void init() {cin >> n >> m;h_tot = n;for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}
}void solve() {for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!dfn[i]) {tarjan(i);}}dfs(1, 0, 1);build();int q;cin >> q;while (q--) {int u, v;cin >> u >> v;cout << dis(u, v) / 2 + 1 << endl; // 圆点个数}
}void main() {init();solve();
}
} // namespace zqh
应该还会加的……
