基础多项式与基础生成函数-编程知识

基础多项式与基础生成函数

news/2025/1/21 20:24:56/文章来源:https://www.cnblogs.com/q1uple/p/18684373

噔噔噔。

你说的对，但是确实挺基础的说。

很多东西避开了严谨的描述。

文章内容非常浅（che）显（dan）。

prework

卷积：$a，b$为两个数列，两个数列的卷积 $c$ 有 $c_k=\sum\limits_{i=1}^{k} a_{i}b_{k-i}$。

多项式的点值表示：$n+1$ 个坐标确定一个 $\le n$ 次的多项式，我们可以用这 $n+1$ 个坐标表示。

注意到直接用点值表示出来的话，能快速的得到相乘的多项式的点值表示。

我们实际上是计算特殊的点值。

单位根：$x^n-1 =0$ 我们称 $x$ 为 $n$ 次单位根，其中 $n \in \mathbb{C} $。我们设 $ \omega $，根据代数基本定理，它在复数集下显然有 $n$ 个解。我们分别记最小解为 $ \omega_1，\omega_2，\omega_3 \ldots \omega_n$，实际上就是每个角为 $\frac{2\pi}{n}$，这个东西定义为 $\omega_{n} = e^{\frac{2\pi i}{n}}$

$ \because e^{i x } = \cos x+ i\sin x $(欧拉公式)

$\therefore \omega_n = \cos \frac{2\pi}{n} + i\sin \frac{2\pi}{n}$

FFT的推导过程

离散傅里叶变换（DFT）

是长这样的，$a$是一个数列，对于 $0 \le k < n$，我们令

\[ b_k=\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i \omega_n^{ki} \]

我们记 $b=F(a)$

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）

顾名思义，直接给出式子

\[ a_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} b_i \omega_n^{-ki}(0 \le k < n) \]

证明有点长，大概就是根据定义去推。

意思就是说如果我们知道单位根的点值，就能推出原多项式的系数了。

循环卷积

有 $a,b$ 两个数列，

$c_k=\sum\limits_{i+j \mod n=k} a_{i}b_{k-i}$

我们记作 $ c = a * b$

我们有一个性质 $F(a*b)=F(a) \times F(b)$

补充单位根的两个性质

Lemma 1:$({\omega_{2n}}^k)^2={\omega_{n}}^k$

Lemma 2:${\omega_{2n}}^{n+k}={\omega_{2n}}^{-k}$

你把复平面建立出来证明式容易的。

我们对多项式 $A(x)$ 开始进行操作，我们记 $n=2m$。

\[A(x)=\sum\limits_{0\le i < n} a_ix^i = \sum\limits_{0\le i < m} a_{2i}x^{2i} +\sum\limits_{0\le i < m} a_{2i+1}x^{2i+1} \]

\[=\sum\limits_{0\le i < m} a_{2i}x^{2i} +x \sum\limits_{0\le i < m} a_{2i+1}x^{2i} \]

注意到有相同的，这是好事。

那我们定义$A_0(x)=\sum\limits_{0\le i < m} a_{2i}x^{2i} ，A_1(x)= x\sum\limits_{0\le i < m} a_{2i+1}x^{2i}$

蝴蝶变换

考虑将前面的东西结合一下？下面还是有 $0 \le k < m$

\[A(\omega{_n}^k) = A_0(\omega{_n}^k)+A_1(\omega{_n}^k) \]

\[A(\omega{_n}^k) = A_0(({\omega_{2n}}^k)^2)+A_1(({\omega_{2n}}^k)^2) \]

\[A(\omega{_n}^k) = A_0(({\omega_{n}}^k)^2)+ \omega{_n}^k A_1(({\omega_{n}}^k)^2) \]

\[A(\omega{_n}^k) = A_0({\omega_{m}}^{k})+ \omega{_n}^k A_1({\omega_{m}}^{k}) \]

\[A(\omega{_n}^{m+k}) = A_0(({\omega_{n}}^{m+k})^2)+ \omega{_n}^{m+k} A_1(({\omega_{n}}^{m+k})^2) \]

\[A(\omega{_n}^{m+k}) = A_0({\omega_{m}}^{k})- \omega{_n}^k A_1({\omega_{m}}^{k}) \]

通过蝴蝶操作的过程可以看出，如果我们得到了 $A_0(x),A_1(x)$

在点${\omega_{m}}^0,{\omega_{m}}^1 \ldots {\omega_{m}}^{m-1}$，我们可以在 $O(n)$ 时间内
计算出 $A(x)$ 在 ${\omega_{m}}^0,{\omega_{m}}^1 \ldots {\omega_{m}}^{m-1}$，我们可以在 $O(n)$处的点值。

而计算 $A_0,A_1$ 的点值的过程可以递归分治进行。
根据主定理，我们可以在 $O(n\log n)$ 的时间内求出所要的 $A(x)$ 的点值表示。

为了快速的进行 IDFT，对比 DFT与 IDFT的表达式，可以发
现我们只需要将FFT过程中用到的 $\omega_{n}$ 全部替换为 ${\omega_{n}}^{-1}$，最后再乘以 $\frac{1}{n}$ 即可。

令 $rev(x)$ 表示将x的二进制位的顺序反转之后得到的数字，我们每次将 $a_i = a_{rev(i)}$ 则每次需要对a进行的蝴蝶操作在a′中变成了对两个相邻的序列的操作。方便多了。~~我觉得你记忆模板就行~~。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+6,mod=1e9+7,INF=2e9;
// 省略了缺省源，想看找我要就行了
struct CP{db x,y;CP(db X=0.0,db Y=0.0){x=X,y=Y;}inline CP operator +(const CP &p){return CP(x+p.x,y+p.y);}inline CP operator -(const CP &p){return CP(x-p.x,y-p.y);}inline CP operator *(const CP &p){return CP(x*p.x-y*p.y,y*p.x+x*p.y);}
}f[N<<1],g[N<<1];
int rev[N<<1];
int n,m;
const db pi=acos(-1);
void FFT(CP *f,db opt){rep(i,0,n-1)  if(i<rev[i])    swap(f[i],f[rev[i]]);for(int p=2;p<=n;p<<=1){int len=(p>>1);CP wd(cos(2*pi/p),sin(2*pi/p)*opt);static CP w[N];w[0]={1,0};rep(i,1,len)    w[i]=w[i-1]*wd;for(int k=0;k<n;k+=p){rep(l,k,k+len-1){CP now=f[l+len]*w[l-k];f[l+len]=f[l]-now,f[l]=f[l]+now;}}}
}
int main(){cin>>n>>m;rep(i,0,n)  cin>>f[i].x;rep(i,0,m)  cin>>g[i].x;for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);rep(i,0,n)  rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);FFT(f,1);FFT(g,1);rep(i,0,n)  f[i]=f[i]*g[i];FFT(f,-1);rep(i,0,m)  cout<<(int)(fabs(f[i].x)/(n*1.0)+0.5)<<" ";
}