题解：CF690A2 Collective Mindsets (medium)

CF690A2 解题报告

前言

眼前一黑思维题（确信）。

做完估计都能当心理学专家了。

思路分析

感觉没有什么太好的切入点……

可能可以从小到大依次分析？

那么展现一下各位海盗的内心活动。

为了方便表述，把海盗从 \(n\) 到 \(1\) 排序，从 \(n\) 到 \(1\) 提出方案。和题面中相反，请读者注意区分。

长文预警。

n=1

死不了。

答案为 \(0\)。

n=2

投赞成票，也死不了。

答案为 \(0\)。

n=3

如果 3 号死了，那么金币会被 2 号拿走，1 号拿不到。

所以只要给 1 号一枚金币，他就会投赞成票。

答案为 \(1\)。

n=4

如果 4 号没有金币，并且 4 号死了，那么 3 号也得死，因为 3 号至少要一枚金币才能存活。

所以如果 4 号没有金币，那么 3 号会投赞成票保命。

答案为 \(0\)。

n=5

如果 5 号死了，那么 4 号会拿走所有金币，3 号拿不到。所以只要给 3 号一枚金币，他就会投赞成票。

如果 4 号拿到金币，他会给 2 号一枚金币，所以 2 号和 4 号是一伙的。

如果 5 号死了，1 号也拿不到金币，所以只要给 1 号一枚金币，他也会投赞成票。

答案为 \(2\)。

n=6

如果 6 号手里有一枚金币，并且 6 号死了，那么 5 号也得死，所以 5 号会投赞成票保命。

如果 5 号死了，4 号可以拿走金币，3 号拿不到，所以只要给 3 号一枚金币，他就会投赞成票。

答案为 \(1\)。

n=7

和 \(n=5\) 相似。

答案为 \(3\)。

n=8

好玩的来了。

如果 8 号手里没有金币，并且 8 号死了，那么 5 号，6 号，7 号都得死，因为他们手里的金币不够。

所以这 3 个人都会投赞成票保命。

答案为 \(0\)。

n=9

和 \(n=7\) 相似。

答案为 \(4\)。

n=10

如果 10 号手里没有金币，那么 9 号会投赞成票保命。

但是没有用，因为 8 号可以活下来，而其他海盗因为死不了，所以开始杀人，所以 10 号没有金币必死。

如果 10 号手里有一枚金币，那么 8 号就不淡定了，因为此时 6 号因为有一枚金币可以活，他不会再支持 8 号，所以 8 号为了保命也会和 9 号一起投赞成票。

这样，7号，8号，9号都会投赞成票。

因为 6 号会拿走金币，5 号拿不到。所以只要给 5 号一枚金币，他就会投赞成票。

答案为 \(1\)。

n=11

和 \(n=9\) 相似。

答案为 \(5\)。

n=12

如果没有或者有一枚金币，12 号都会死，读者可以自己验证。

如果有两枚金币，10 号会失去 8 号的支持，所以 10 号，11 号都会投赞成票保命。

然后如果 12 号死了，8 号会拿到全部金币，所以只要分别给 6 号，7 号一枚金币，他们都会投赞成票。

答案为 \(2\)。

n=13

和 \(n=11\) 相似。

答案为 \(6\)。

n=14

答案为 \(4\)，读者可以自行验证。

n=15

和 \(n=13\) 相似。

答案为 \(7\)。

n=16

好玩的又来了。

如果 16 号没有金币，那么 9 号，10 号，11 号，12 号，13 号，14 号，15 号都会投赞成票保命。

答案为 \(0\)。

总结

应该分析的差不多了。

发现当 \(n\) 是奇数时，因为当前人死了不会有人陪葬，所以他们不得不给 \(\frac{n-1}{2}\) 个拿不到金币的人一人一枚金币，来换取他们的赞成票。

当 \(n\) 是偶数时，并不是金币越多越好，有时候金币少会导致别人陪葬，从而获得这些人的保命票。

这样的人的数量变化是有周期规律的。

令 \(k\) 为 \(2^k\le n\) 的极大值，那么答案为 \(\frac{n-2^k}{2}\)。

代码实现

想得多了，写的就少。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt;
int main(){cin>>n;if(n&1) cout<<(n-1)/2;else{while((1<<(cnt+1))<=n) cnt++;cout<<(n-(1<<cnt))/2;}return 0;
}

后记

心理学题。