线性无关性、张成、基、维数 Linear independence, span, basis, dimension

线性无关性、张成、基、维数 Linear independence, span, basis, dimension

​ 考虑\(m\times n\)矩阵\(\symbfit{A}\)（\(m<n\)），那么未知数\(x\)的个数大于方程的个数，就一定存在至少一个自由变量，\(\symbfit{A}\symbfit{x}=\symbfit{0}\)含有非零解。\(\symbfit{A}\)的列向量含有非零系数组合使得组合为零向量，那么称这一组列向量线性相关。

​ 下面给出详细的定义：

​ 对于向量\(\symbfit{x}_1,\dots, \symbfit{x}_n\)不存在结果为零向量的系数不全为0的组合，即

\[c_1\symbfit{x}_1+\cdots+c_n\symbfit{x}_n\neq\symbfit{0}(c_i不全为0) \]

那么就称这组向量是线性无关（linear independence）的，反之，称这组向量是线性相关（linear dependence）的。

​ 下面考虑4种情况（如果没有特别说明，默认向量\(\symbfit{v}_i\neq\symbfit{0}\)）：

1. 一组向量：\(\symbfit{v}_1\)和\(\symbfit{v}_2=2\symbfit{v}_1\)，那么有\(-2\symbfit{v}_1+\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\)，这组向量是线性相关的（共线）；
2. 一组向量：\(\symbfit{v}_1\)和\(\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\)，那么有\(0\symbfit{v}_1+c_2\symbfit{v}_2=\symbfit{0}\)，\(c_2\)可取\(0\)之外的任意值，这组向量是线性相关的；
3. 一组向量：\(\symbfit{v}_1\)和\(\symbfit{v}_2\)，这两个向量并不共线，它们组成了一个平面，这组向量是线性无关的；
4. 一组向量：\(\symbfit{v}_1\)、\(\symbfit{v}_2\)和\(\symbfit{v}_3\)，这三个向量在一个平面上，其中任意2个向量都能组合成平面内任一向量，这组向量是线性相关的；

​ 当\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_n\)是\(\symbfit{A}\)的列向量，

1. 如果它们是线性无关的，那么\(N\left(\symbfit{A}\right)\)中只有零向量，因为没有自由变量，所有列都是主列（\(n\)个主列），秩是\(n\)；
2. 如果它们是线性相关的，那么对于一些非零向量\(\symbfit{c}\)有\(\symbfit{A}\symbfit{c}=\symbfit{0}\)，秩小于\(n\)；

​ 如果向量组\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_n\)张成了一个空间（span a space），那么就是说这个空间\(\color{red}{只}\)由这些向量的所有线性组合组成。这个空间不同于其他包含这组向量的其他空间，这是包含这组向量的最小空间！

​ 向量空间的一组基（basis）是指：一系列的向量\(\symbfit{v}_1,\dots, \symbfit{v}_d\)有2大性质：

1. 它们是线性无关的；
2. 它们张成整个空间。

​ 例如空间\(\mathbb{R}^3\)，它的一组基是\(\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}\)，显然，它们是线性无关的，而且可以组成空间\(\mathbb{R}^3\)。再举个例子，\(\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix}\right\}\)就不是一组基，它们虽然线性无关，但是只能张成一个平面，需要再增加一个向量，比如\(\begin{bmatrix}0\\4\\\pi\end{bmatrix}\)，这样就可以张成整个三维空间了。

​ 观察这两组基可以发现（不严谨），\(\mathbb{R}^n\)中\(n\)个向量组成基，以这\(n\)个向量为列的\(n\times n\)矩阵是可逆的。对于给定空间，任意基都满足：基向量的个数相等，这个数量称为空间的维数（dimension）。

​ \(C\left(\symbfit{A}\right)\)的维数等于\(r\left(\symbfit{A}\right)\)，等于\(\symbfit{A}\)的主列数；\(N\left(\symbfit{A}\right)\)的维数等于\(n-r\)，等于\(\symbfit{A}\)的自由列数。