线性筛

线性筛

引入

---

-例题(F题)

给定两个正整数\(n\),\(q\)然后询问\(q\)次，每次询问第\(m\)小的质数保证质数小于等于\(n\)。

-思路

用数组把质数进行存储，再输出第\(m\)个便可以了，但是我们需要考虑时间空间限制，一般题暴力也可以，但有些唐题就想要让我们用线性筛。接下来进行讲解，供各位鉴赏。

线性筛

---

-原理

在遍历到某一个数字\(k\)时，如果\(k\)是质数，那么它的倍数（\(2*k\),\(3*k\)...\(n*k\)）必然不是质数，若\(k\)不是质数，它必定被前面的某个质数排掉。

-核心代码

vector<bool> prime(n+1,true);//用数组存下0-n，默认每个数都是质数（true）
prime[0]=prime[1]=false;//0，1不是质数（fales）
for(int i=2;i*i<=n;++i){//遍历（Q1：为什么是i*i？）if(prime[i]){for(int j=i*i;j<=n;j+=i){//对这个质数的平方后的倍数排除（Q2：为什么从i*i开始？）prime[j]=false;//排除}} 
}

-Tips

Q1：

合数的性质：

如果 n 是合数，那么它至少有一个质因数 p 满足 p ≤ √n。

例如，n = 100，√100 = 10。如果 n 是合数，它至少有一个质因数 p ≤ 10。

筛法的终止条件：

当 i > √n 时，ii > n，此时 i 的倍数 i2, i3, ..., i(i-1) 已经被更小的质数筛除了。

因此，继续筛除已经没有意义。

Q2：

合数的性质：

如果 n 是合数，那么它至少有一个质因数 p 满足 p ≤ √n。

例如，n = 100，√100 = 10。如果 n 是合数，它至少有一个质因数 p ≤ 10。

筛法的起始点：

对于质数 i，i 的倍数 i2, i3, ..., i*(i-1) 已经被更小的质数筛除了。

因此，直接从 j = i * i 开始筛除。

上代码

---

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n,q,m;cin>>n>>q;vector<bool> prime(n+1,true);prime[0]=prime[1]=false;for(int i=2;i*i<=n;++i){if(prime[i]){for(int j=i*i;j<=n;j+=i){prime[j]=false;}} }vector<int> primes;//存入质数for(int i=2;i<=n;++i){if(prime[i]) primes.push_back(i);}while(q--){//多次询问cin>>m;if(m>=1&&m<=primes.size()){cout<<primes[m-1]<<endl;}else{cout<<-1<<endl;}}return 0;
} 

题解++，任务--！

感谢观看！