前置知识：dp 是啥你总得知道吧（）
dp 套 dp，又叫 dp of dp，此类题目一般以一个 dp 问题为方案，求方案数。比如求最长上升子序列长度为 \(x\) 的方案数。
BZOJ3864 Hero meet devil
（想不到吧 bzoj 登陆洛谷了）
那就以这个经典问题为例。
（一定要会 \(\mathcal{O}(n^2)\) 求 LCS！）
题意
给定一个字符集为 ACGT 的字符串 \(S\)。定义 \(\text{LCS}(S,T)\) 为两个字符串 \(S,T\) 的最长公共子序列。
对于每个 \(0\leq i \leq |S|\)，求有多少个长度为 \(m\)，字符集 ACGT 的字符串 \(T\)，满足 \(|\text{LCS}(S,T)|=i\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。
\(1\leq T\leq 5\)，\(1\leq |S| \leq 15\)，\(1\leq m\leq 1000\)。
初步想法
题目要求方案数，尝试 dp。一种很 naive 的想法是，记录 \(S\) 遍历到 \(i\)，\(T\) 遍历到 \(j\)，LCS 为 \(k\) 的方案数。这个显然不行啊，因为至少要选一个 \(i/j\) 重新遍历。
那既然每次都要重新更新一遍内层 dp 数组，我们把 dp 数组存一下不就好了，正好把 \(k\) 那维也省掉了。
思路
设 \(dp_{x,y}\) 表示 \(T\) 中到\(x\)，\(S\) 中到 \(y\)；\(f_{i,S}\) 表示，\(T\) 中遍历到 \(i\)，\(dp_{i}\) 的 \(|S|\) 个值。
但是 \(dp_{i}\) 数组怎么状压？总不能按进制存吧。
观察一下，不难发现值单调不降，并且前后两项最多差 \(1\)。所以可以把它差分一下，变成一个二进制 \(mask\)！
这样一来，枚举 \(i\) 以及 \(T_i\)，枚举 \(i-1\) 轮的 \(mask\)，然后把 \(mask\) 前缀和一下，对它使用学过的 LCS 转移，最后差分回去为 \(mask'\)。则 \(f_{i-1,mask}\) 对 \(f_{i,mask'}\) 产生贡献。
最后统计答案部分我不说你也会。
问题就解决了。
但时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m \times |字符集| \times 2^{|S|} \times |S|)\)，有点悬啊！
优化
这时，再考虑进行一个很简单的优化：
注意到对于相同的参数 \(T_i\) 和 \(mask\)，返回的 \(mask'\) 一样。所以把所有的情况先预处理一遍，求 \(f\) 的时候就不用每次算了！
时间复杂度 \(\mathcal{O}(|字符集|\times 2^{|S|} + m \times |字符集| \times 2^{|S|})\)，毫无压力！
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 20, MASK = (2 << 15) + 5, MOD = 1e9 + 7;
char char_set[] = {"ACGT"};
vector<int> Mask[20];
int n, m, dp[2][M], trans[MASK][4], f[2][MASK], ans[M];
char s[M];inline int madd(int x, int y) { return x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y; }
inline int mmul(int x, int y) { return x * y % MOD; }
inline void add(int &to, int from)
{to = madd(to, from);
}int DP(int mask, char c)
{memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= m; i++)dp[0][i] = dp[0][i - 1] + ((mask >> (i - 1)) & 1);for (int i = 1; i <= m; i++){dp[1][i] = max(dp[0][i], dp[1][i - 1]);if (c == s[i])dp[1][i] = max(dp[1][i], dp[0][i - 1] + 1);}int res = 0;for (int i = 1; i <= m; i++)res += (dp[1][i] - dp[1][i - 1]) << (i - 1);return res;
}void solve()
{scanf("%s%d", s + 1, &n);m = strlen(s + 1);for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)for (int k = 0; k < 4; k++)trans[mask][k] = DP(mask, char_set[k]);int cur = 0, lst = 1;memset(f, 0, sizeof(f));f[cur][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){swap(cur, lst);memset(f[cur], 0, sizeof(f[cur]));for (int k = 0; k < 4; k++)for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)add(f[cur][trans[mask][k]], f[lst][mask]);}memset(ans, 0, sizeof(ans));for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)add(ans[__builtin_popcount(mask)], f[cur][mask]);for (int i = 0; i <= m; i++)printf("%d\n", ans[i]);
}int main()
{int T;cin >> T;while (T--)solve();return 0;
}
[TJOI2018] 游园会
一个很像的题，不过生成串中不能出现 NOI 罢了。\(f\) 数组再记录一维表示 \(3\) 个阶段即可。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 20, MASK = (1 << 15) + 5, MOD = 1e9 + 7;
char cset[] = {"NOI"};
int n, m, dp[2][M], trans[MASK][3], f[2][4][MASK], ans[M];
char s[M];inline int madd(int x, int y) { return x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y; }
inline void add(int &to, int fro)
{to = madd(to, fro);
}int DP(int mask, char c)
{memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= m; i++)dp[0][i] = dp[0][i - 1] + ((mask >> (i - 1)) & 1);for (int i = 1; i <= m; i++){dp[1][i] = max(dp[0][i], dp[1][i - 1]);if (c == s[i])dp[1][i] = max(dp[1][i], dp[0][i - 1] + 1);}int res = 0;for (int i = 1; i <= m; i++)res += (dp[1][i] - dp[1][i - 1]) << (i - 1);return res;
}int main()
{cin >> n >> m;scanf("%s", s + 1);for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)for (int k = 0; k < 3; k++)trans[mask][k] = DP(mask, cset[k]);int cur = 0, lst = 1;f[cur][0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){swap(cur, lst);memset(f[cur], 0, sizeof(f[cur]));for (int k = 0; k < 3; k++){int to2 = k + 1, fro = k, to = k == 0 ? 1 : 0; // fro ? ->to2 : ->tofor (int j = 0; j < 3; j++)for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)add(f[cur][j == fro ? to2 : to][trans[mask][k]], f[lst][j][mask]);}}for (int j = 0; j < 3; j++)for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)add(ans[__builtin_popcount(mask)], f[cur][j][mask]);for (int i = 0; i <= m; i++)printf("%d\n", ans[i]);return 0;
}
[ZJOI2019] 麻将
学长推荐的 dp of dp 好题，我比较菜还没写（你不就是懒得写呗），读者可以自己尝试一下。
