₯ 特训-编程知识

₯ 特训

news/2025/2/8 19:04:33/文章来源:https://www.cnblogs.com/wxir/p/18705018

https://www.luogu.com.cn/training/641872 和「CodeChef」Mex Subsequence。

看似 DP 特训，实则 DS 特训。

优先考察性质，否则后果参考 S-T3。

技巧一

以「CEOI2016」kangaroo 为例。

价值两个脆香米的好题。

考虑将 \(1 \sim n\) 这 \(n\) 个数按顺序从小到大插入，这样已在序列中的都比当前数小，将要插入序列中的都比当前数大。

发现转移时就只与当前的连续段个数相关。

而为了保证方案合法，还需要使得每个连续段都是形如 M 形，才能保证之后加入的可以新开连续段或合并两段。

可以线性。

技巧二

以「POI2013」LUK-Triumphal arch 为例。

神秘博弈论。

这种选点的好像都要二分。

技巧三

以「CEOI2017」Chase 为例。

提到树上路径相关问题的两种思考方式：枚举 LCA 和枚举端点。

还有一个是点分治。

寄巧四

以「CF1476F」Lanterns 为例。

*3000 题当然有 *3000 的做法。

考察打开 \([1, i]\) 的灯笼后，照亮的区域是 \([1, i]\) 中的某些点和 \([i + 1, n]\) 的一段前缀。而 \([i + 1, n]\) 的灯笼打开后在 \([1, i]\) 中照亮的是一段后缀。

因此设 \(f_{i, j}\) 表示打开 \([1, i]\) 的灯笼后在保证 \([1, j]\) 的区域被照亮的情况下最远可以照到的范围是 \([i + 1, f_{i, j}]\)，若不能保证 \([1, j]\) 被照亮则为 \(-\infin\)。

不难发现当 \(i\) 一定时，\(f_{i, j}\) 随 \(j\) 的增大而减小。

转移时，如果第 \(i\) 个灯笼向右，那么转移为：

\(f_{i, j} \gets \max(f_{i - 1, j}, i + p_i)(f_{i - 1, j} > -\infin)\)，

\(f_{i, i} \gets \max(f_{i - 1, i - 1}, i + p_i)(f_{i - 1, i - 1} \ge i)\)。

因为只有当可以将 \([1, i - 1]\) 覆盖完时第 \(i\) 个灯笼才可能向左，所以有：

\(f_{i, j} \gets f_{i, i - 1} \gets f_{i - 1, i - p_i - 1}(f_{i - 1, i - p_i - 1} > -\infin)\)，

\(f_{i, i} \gets f_{i - 1, i - p_i - 1}(f_{i - 1,i - p_i - 1} \ge i)\)。

具体实现上用线段树维护 \(f\)，每次修改的都是一段区间。

虽然这个做法确实是依托，但是确实体现了常规 DP 的一种思路：

阶段：将问题划分为若干阶段，阶段间存在一定顺序。
状态：当前阶段中会对后续决策产生影响的信息。
转移
优化：优化状态和数据结构优化转移。两者本质是一样的，

技巧五

以「CF1152F2」Neko Rules the Catniverse (Large Version) 为例。

插入 DP。依然是插入的同时保证一定的大小关系。

注意到 \(m\) 和 \(k\) 都很小，所以可以设进状态里。

再注意到转移不变且 \(n\) 很大，所以进行一个矩阵的快速幂。

技巧六

以「BZOJ4665」小 w 的喜糖为例。

容斥。

抛开题目不谈，先证一遍二项式繁衍。

你知道为什么容斥系数是 -1、1、-1、1 吗？

—— Just_int_mian

首先，有二项式定理 \((a + b)^n = \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i}\)。

然后，取 \(a = -1, b = 1\)，得 \(\sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i = [n = 0]\)。

设 \(g_n = \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i f_i\)。

则有

\[\begin{aligned}& \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i g_i \\= & \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i \sum\limits_{j = 0}^i (-1)^j C_i^j f_j \\= & \sum\limits_{i = 0}^n \sum\limits_{j = 0}^i (-1)^i (-1)^j C_n^i C_i^j f_j \\= & \sum\limits_{i = 0}^n \sum\limits_{j = 0}^i (-1)^{i + j} C_n^j C_{n - j}^{i - j} f_j \\= & \sum\limits_{j = 0}^n \sum\limits_{i = j}^n (-1)^{i + j} C_n^j C_{n - j}^{i - j} f_j \\= & \sum\limits_{j = 0}^n C_n^j f_j \sum\limits_{i = j}^n (-1)^{i + j} C_{n - j}^{i - j} \\= & \sum\limits_{j = 0}^n C_n^j f_j \sum\limits_{i = 0}^{n - j} (-1)^{(i + j) + j} C_{n - j}^{(i + j) - j} \\= & \sum\limits_{j = 0}^n C_n^j f_j \sum\limits_{i = 0}^{n - j} (-1)^i C_{n - j}^i \\= & \sum\limits_{j = 0}^n C_n^j f_j [n = j] \\= & f_n \\\end{aligned} \]

所以 \(g_n = \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i f_i \iff f_n = \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i g_i\)。

设 \(g'_n = (-1) ^ n g_n\)，则 \(g_n = (-1) ^ n g'_n\)。

则有

\[\begin{aligned}g'_n = & (-1) ^ n \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i f_i\\= & \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^{n - i} C_n^i f_i \\f_n = & \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^i C_n^i (-1) ^ i g'_i\\= & \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i g'_i \\\end{aligned} \]

所以 \(f_n = \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i g'_i \iff g'_n = \sum\limits_{i = 0}^n (-1)^{n - i} C_n^i f_i\)。

然后还有一种更常用的写法，即 \(f_i = \sum\limits_{j = i}^n C_j^i g_j \iff g_i = \sum\limits_{j = i}^n (-1) ^ {j - i} C_j^i f_j\)。

这样 \(f_i\) 表示钦定（不是至少）选 \(i\) 个的方案数，\(g_i\) 表示恰好选 \(i\) 个的方案数。