这篇文章打算写 1~2 年，目标是讲到 Fake Fake Fake Zeta。
如果你看不懂这篇文章，但是还想要让这篇文章对你产生一些知识上的提高，可以管我洛谷私信 uid=663638 要 LaTeX 源码以学习 LaTeX。
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一切的一切开始之前，我们有必要介绍一下自然数（其实可以跳过的）。
自然数由 Peano 公理定义：
- \(0\) 是自然数；
- 每一个自然数 \(x\)，都有一个自然数后继 \(x'\)；
- \(0\) 不是任何自然数的后继；
- 每个数的后继互不相同；
- 归纳假设：设由一个集合 \(S\) 满足 \(0\in S\) 且 \(\forall x\in S,x'\in S\)，则 \(S\) 就是整个自然数集。
有了这个定义，可以很容易的定义加法和乘法，在此不表，留给读者。
我们想知道的是，自然数数完了之后，是否还有数？
当然。
我们设 \(\omega\) 为 \(x\to1+x\) 这个映射的第一个不动点，也就是 \(\aleph_0\)（待查证）。
注意，在序数中，加法、乘法不满足交换律，你必须要记住这一点。
所以 \(x\to1+x\) 这个映射不能写成 \(x\to x+1\)，也不能写成 \(x\to x'\)。
那么 \(\omega\) 是否就是最大的数了呢？
非也，\(\omega+1\) 不就比 \(\omega\) 大吗？
\(\omega\) 不是 \(x\to1+x\) 这个映射的不动点吗？\(\omega+1\) 为什么不等于 \(\omega\) 呢？
这是因为序数加法是没有交换律的。
\(\omega=\sup\{0,1,2,3,4,5,\dots\}\)，则 \(1+\omega=\sup\{1,2,3,4,5,6,\dots\}\)。
容易看出这只少了一个 \(0\)，所以 \(\omega=1+\omega\)。
但是 \(\omega+1\) 是 \(\omega\) 之后的第一个（整？）数，也就是 \(\omega'\)。
那么我们还有 \(\omega+1,\omega+2,\omega+3,\dots\)，最后一直到 \(\omega+\omega\)，我们将其记作 \(\omega2\)。
注意不能写成 \(2\omega\)。原因同 \(\omega+1\) 不能写成 \(1+\omega\)。
同样，我们有 \(\omega2+\omega=\omega3\)，\(\omega n+\omega=\omega(n+1)\)。
最后的最后我们将会得到 \(\omega\omega\)，也就是 \(\omega^2\)。
但是 \(\omega^2\) 不是我们旅途的终点，我们还有 \(\omega^2+1,\omega^2+2,\omega^22,\omega^23\dots\omega^2\omega\)，最后我们可以得到 \(\omega^3\)。
再继续，我们还有 \(\omega^4,\omega^5,\omega^6,\dots,\omega^{\omega}\)。
继续下去 \(\omega^{\omega}+1,\omega^{\omega}+2,\dots,\omega^{\omega}2,\omega^{\omega}3,\dots,\omega^{\omega}\omega=\omega^{\omega+1},\omega^{\omega+2},\dots,\omega^{\omega2},\dots,\omega^{\omega^{\omega}}\)。
还没有结束，\(\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}},\omega\uparrow\uparrow5,\dots,\omega\uparrow\uparrow\omega\)。这里默认读者知道 Knuth 箭头。
我们记 \(\varepsilon_0=\omega\uparrow\uparrow\omega\)。这是 Peano 公理计数的极限（待查证）。
用不动点来表示，就是 \(\varepsilon_0\) 是映射 \(x\to\omega^x\) 的第一个不动点，又称 \(SCO\)。
到目前位置一切都是脑子可以想到的。
接下来我们需要定义 \(\varepsilon_1\)，他被定义为 \(x\to\omega^x\) 的第二个不动点，也就是 \(\omega^{\omega^{\dots^{\varepsilon_0+1}}}\)。
然后我们就可以继续往后定义了，\(\varepsilon_x=\omega^{\omega^{\dots^{\varepsilon_{x-1}+1}}}\)。
那么我们有了一系列的 \(\varepsilon\)：\(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_{\omega}\)。
\(\varepsilon\) 的下角标可以嵌套，于是我们有了 \(\varepsilon_{\varepsilon_0},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}},\varepsilon_{\varepsilon_{{\dots}}}\)，于是我们定义 \(\zeta_0\) 为 \(x\to\varepsilon_x\) 的第一个不动点，又称 \(CO\)。
仿照 \(\varepsilon\) 对 \(\zeta\) 进行嵌套，定义 \(\eta_0\)（又称 \(LCO\)），然后是 \(\vartheta_0,\iota_0,\kappa_0,\dots\)，但是对于这无穷的序数以有限的希腊字母写出显然不可行。
我们可以定义 \(\varphi\) 函数 ，即 \(\varphi(0,x)=\omega^x,\varphi(1,x)=\varepsilon_x,\varphi(2,x)=\zeta_x,\varphi(3,x)=\eta_x,\varphi(4,x)=\vartheta_x,\varphi(5,x)=\iota_x,\varphi(6,x)=\kappa_x,\dots\)，最后我们来到了 \(\varphi(\omega,x),\varphi(\varepsilon_0,x),\varphi(\varphi(\omega,0),0),\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)\dots\)，最后我们来到了二元 \(\varphi\) 函数能表示的极限，\(x\to\varphi(x,0)\) 的不动点，将其定义为 \(\Gamma_0\)，又称 FSO。
最终还是讨论了我们的多元 \(\varphi\) 函数。FSO 就是三元 \(\varphi\) 函数的开始，我们也将其记为 \(\varphi(1,0,0)\)。
然后 \(\varphi(1,\Gamma_0+1),\varphi(2,\Gamma_0+1),\varphi(3,\Gamma_0+1),\dots,\varphi(\omega,\Gamma_0+1),\dots\)。
再继续，\(\varphi(\Gamma_0+1,0),\varphi(\varphi(\Gamma_0+1,0),0),\varphi(\varphi(\varphi(\Gamma_0+1,0),0),0),\dots\)，这串数列的极限就是 \(\varphi(1,0,0,0)\)，哦不对，\(\varphi(1,0,1)\)，fk，怎么才刚进了一位！
然后 \(\varphi(1,0,1),\varphi(1,0,2),\dots,\varphi(1,0,\omega)\)。
接着 \(\varphi(1,0,\varphi(1,0)),\varphi(1,0,\varphi(1,0,0)),\varphi(1,0,\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))),\varphi(1,0,\varphi(1,0,\varphi(1,0,\varphi(1,0,0)))),\dots\)，这串数列的极限就是 \(\varphi(1,0,0,0)\)，哦不对，\(\varphi(1,1,0)\)，fk！
然后是 \(\varphi(1,2,0),\varphi(1,\omega,0),\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0),\dots\)，这串数列的极限就是 \(\varphi(1,0,0,0)\)，哦不对，\(\varphi(2,0,0)\)，fk！
最后是 \(\varphi(3,0,0),\varphi(4,0,0),\varphi(\omega,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0),\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0),0,0),\dots\)，这串数列的极限就是 \(\varphi(1,0,0,0)\)，这回是真的了，\(\varphi(1,0,0,0)\) 又称 \(AO\)。
我们设 \(\varphi(1,0)=\varphi(1@1),\varphi(1,0,0)=\varphi(1@2),\varphi(1,0,0,0)=\varphi(1@3)\)。
于是根据上述定义，我们有 \(\varphi(1@4),\varphi(1@5),\dots,\varphi(1@\omega)\)，也叫 \(SVO\)，是多元 Veblen（即 \(\varphi\) 函数）的极限。
然后我们有 \(\varphi(1@\varphi(1@\omega)),\varphi(1@\varphi(1@\varphi(1@\omega))),\dots\)，这串数列的极限是 \(LVO\)，这便是序元 Veblen 的极限。
这部分要讲的是超序元 Veblen。
我们可以对后面的维度进行进位。
即 \(\varphi(1@(0,0))\) 是 \(\varphi(1@\omega)\)，\(\varphi(1@(1,0))\) 是 \(LVO\)，可以将 \(\varphi(1@(\dots))\) 类比成 \(\varphi(\dots)\) 进位，这样的话，类比成 \(SVO\) 的就是 \(\varphi(1@(1@(1,0)))\)，类比成 \(LVO\) 的就是 \(\varphi(1@(1@(1@(1@\dots))))\)，这个序数被叫做 BHO，这是超序元 Veblen 函数的极限，往后 Veblen 失去了他的意义。
现在我们开启了一个新的篇章，即 OCF。
我查到的 OCF 都是直接上定义，这对新手十分的不友好，所以我会把这个玩意讲清楚。
首先我们有三个数 \(0,1,\omega\)，和三种序数运算加法、乘法和乘方。
通过这些能达到最大的数是 \(\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_0\)，那么我们令 \(\psi(0)=\varepsilon_0\)。
然后我们现在已经有了 \(0,1,\omega,\psi(0)=\varepsilon_0\)，那么我们再做一遍，就可以得到 \(\varepsilon_0\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_1\)。
一直往后做，得到 \(\psi(x)=\varepsilon_x\)，\(x\) 可以是任何序数小于 \(\zeta_0\) 的序数。
这里，我们对 \(\psi(x)\) 下一个具体的定义：
- \(C^0(x)=\{0,1,\omega\}\)；
- \(C^{n+1}(x)=\{a+n,ab,a^b,\psi(c)|a,b,c\in C^n(x),c<x\}\)；
- \(C(x)=\bigcup\limits_{0\le n<\omega}C^n(x)\)；
- \(\psi(x)=\operatorname{mex}C(x)\)。
注意第三条规则中的 \(n\) 不能是 \(\omega\)，这个不起眼的地方决定了现在的 OCF 在 \(x=\zeta_0\) 的时候早早取到极限。
由于 \(\varepsilon_{\zeta_0}=\zeta_0\)，所以 \(\psi(\zeta_0)=\zeta_0\)，而 \(\psi(\zeta_0+1)\) 并不是 \(\varepsilon_{\zeta_0+1}\)，因为 \(\max C^n(x)\) 仅仅是 \(\varepsilon^{(n)}_x\)，只有 \(\max C^{\omega}(x)\) 才能真正达到 \(\zeta_0\)，所以很可惜，\(\psi(\zeta_0+1)=\zeta_0\)。
那么 \(\forall x\ge\zeta_0,\psi(x)=\zeta_0\)，这不免让我们失望。
但是我们会有更加强大的方式的！
我们设 \(\Omega\) 为第一个非递归序数，也就是 \(\omega_1^{CK}\)（待查证），这里你不需要理解 \(Omega\) 是什么，你只需要知道它很大，比我们知道的任何序数还要大且无法通过任何运算达到就行了。我们将 \(0,1,\omega\) 的初始值变成 \(0,1,\omega,\Omega\)，每次选取的为不包含 \(\Omega\) 的最大的非递归序数。
显然对于所有的 \(\zeta_0\le x\le\Omega\)，事情并不会发生任何变化。
当 \(x=\Omega+1\) 时，事情开始有了一丝转机，由于 \(\Omega<\Omega+1\)，\(\psi(\Omega)=\zeta_0\) 就可以作为元素放进 \(C^1(x)\)，于是 \(\psi(\Omega+1)=\varepsilon_{\zeta+1}\)，更一般的，对于所有的 \(1\le x\le \zeta_0,\psi(\Omega+x)=\varepsilon_{\zeta_0+x}\)。
事实上这个上界不仅是 \(\zeta_0\) 了！
我们还有 \(\psi(\Omega+\psi(\Omega+\zeta_0))\)，这些嵌套可以一直嵌套到映射 \(x\to\psi(\Omega+x)\) 的不动点，\(\zeta_1\)。
和刚才的情况类似，\(\forall \zeta_1\le x\le\Omega,\psi(\Omega+x)=\zeta_1\)。
然而考虑 \(\psi(\Omega2+1)\)，和刚才 \(\psi(\Omega+1)\) 的分析类似，\(\psi(\Omega2+1)=\varepsilon_{\zeta_1+1}\)。
然后推下去有 \(\psi(\Omega x)=\zeta_{x-1}\)。
那么我们有 \(\psi(\Omega\omega)=\zeta_{\omega}\)。
接着，\(\psi(\Omega\psi(\Omega))=\zeta_{\zeta_0},\psi(\Omega\psi(\Omega\psi(\Omega)))=\zeta_{\zeta_{\zeta_0}}...\)，最后达到了 \(x\to\psi(\Omega x)\) 的不动点，\(\eta_0\)。
然后对于 \(\psi(\Omega\eta_0)\) 到 \(\psi(\Omega^2)\) 的情况都是一样的，\(\eta_0\)。
直到 \(\psi(\Omega^2+\Omega)\) 获得进一步的增长。
一直下去，会有 \(\psi(\Omega^3)=\vartheta_0\)，一直到 \(\psi(\Omega^x)=\varphi(x+1,0)\) 便是极限。
接着再玩一层不动点，\(x\to\psi(\Omega^x)\) 的不动点就是 \(\Gamma_0\)，也就是 \(\varphi(1,0,0)\)，直到 \(\psi(\Omega^{\Omega})\) 一直如此。
然后再将自变量进一步增大，\(\psi(\Omega^{\Omega}2)=\varphi(1,0,1),\psi(\Omega^{\Omega+1})=\varphi(1,1,0),\psi(\Omega^{\Omega^2})=\varphi(1@3),\psi(\Omega^{\Omega^x})=\varphi(1@(x+1))\)，最终得到了序元 Veblen 的极限 \(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})=\varphi(1@(1,0))\)。
然后再往上叠 \(\Omega\) 的指数塔，最后叠到 \(\psi(\Omega\uparrow\uparrow\omega)=\psi(\varepsilon_{\Omega+1})\)，也即超序元 Veblen 的极限 \(BHO\)。
直到这里 OCF 和 Veblen 能表示的东西还是一样的。
我们创造性的定义一个新的非递归序数 \(\Omega_2=\omega_2^{CK}\)，再定义一个 OCF \(\psi_1(x)\)，输出一个 \(\Omega\) 至 \(\Omega_2\) 间的序数。
我们再定义一个 \(C_1\)，除了初始集合和 \(C\) 不一样意外其余都一样，初始集合 \(C_1^0(x)=\Omega\cup\{\Omega\}=\{x|x\le\Omega\}\)。
有了更为厉害的 \(\psi_1\) 后，我们要把 \(\psi\) 改造成和他原先定义彼此彼此的 \(C^0(x)=\{0,1,\omega,\Omega,\Omega_2\}\)。
这样看来，\(\psi(\psi_1(0))\) 就是 \(BHO\)，然后接着迭代一系列的序数，最后得到了 \(\psi(\zeta_{\Omega+1})\)，这个序数很大，大到现有的记号已经没有它的第二种表示形式了。
但是我们还可以做到更好：在第一内层中引入 \(\Omega_2\)，然后类似没有 \(\Omega_2\) 时，最后会达到 \(\psi(\varepsilon_{\Omega_2+1})\)。
接着我们已经做了示范，可以照葫芦画瓢引出 \(\Omega_3,\dots,\Omega_{\omega}\)。然后我们得到了 \(\psi(\Omega_{\omega})=BO\)。
然后接着扩展，\(\psi(\Omega_{\omega+1})=TFBO,\psi(\Omega_{\Omega})=BIO\)，然后最后得到 \(x\to\psi(\Omega_x)\) 的不动点 \(EBO\)，可以用反射序数表示为 \(\psi(\psi_I(0))\)。
接下来应该讲反射序数，但是我还没看懂，所以先这样吧。
