2.11 CW 模拟赛 T1. 刀等数学-编程知识

2.11 CW 模拟赛 T1. 刀等数学

news/2025/2/11 19:20:05/文章来源:https://www.cnblogs.com/YzaCsp/p/18710349

思路

题意

给定一个长为 $n$ 的排列 $a$ 和一个最初为空的大根堆
进行 $2n$ $2 n$ 次操作
- 取出堆顶放入 $b$ 末尾
- 取出 $a$ 开头放入堆

求最终得到的 $b$ 的种类数

注意力惊人其实有点, 我说题解

性质

假设 $1$ 在 $a$ 中的位置为 $p$ , 在 $b$ 中的位置为 $q$
因为 $1$ 一定是堆中最后弹出来的数, 所以 $a, b$ 前 $q$ 个数的集合应该相同, 不难发现 $p \leq q$

证明

因为 $1$ 总是在堆中最后出现, 那么每次 $1$ 出现在 $b$ 中, 堆一定是空的, 因此此时 $a, b$ 对应数集相同

进一步处理, 剩下的部分中, 其最小值也满足上面的性质
同样可以类似上面的做

所以现在我们知道一个合法解的性质了
如果你执行 : 找到序列的最小值 $\to$ 切割 $\to$ 找到序列的最小值 $\to$ 切割 $\to \cdots$ , 那么每次切下来的那一段中, 对应的 $a, b$ 数集相同, 也就是说那一段中 $a, b$ 对应的最小值相同
更一般的, 我们可以把每次切割产生的两个序列都如上处理, 仍然符合性质, 这提示我们使用区间 $\rm{dp}$

但是这样怎么统计数量?
考虑仿照分段的过程, 进行一个记忆化的搜索

我们每次处理当前 $[l, r], v$ , 表示考虑 $[L, R]$ 区间中 $< v$ 的部分已经被填过了, 保证 $a_L, a_R \geq v$ , 且存在 $a_i \in [L, R] = v$ , 保证 $a_{[L, R]}$ 和 $b_{[L, R]}$ 中数集相同

关于初始化 / 边界条件

$l \geq r$
显然应当初始化为 $1$
$a_{[L, R]} < v$
这种情况下整个区间会被跳过, 应当初始化为 $1$

如果不存在 $a_{[L, R]} = v$

我们直接找到当前区间 $[L, R]$ 中的最小值, 然后查询 $f_{L, R, \min}$ 即可, 保证了区间中存在最小值

找到 $a_{[L, R]}$ 的最小值位置 $p$ , 枚举 $b_{[L, R]}$ 中的最小值位置 $q \in [p, R]$

递归区间 $[L, p], (p, R]$ , 令 $v \gets v + 1$ 表示已经处理完了 $v$ 的位置, 以后 $a$ 中 $< v$ 的就不管了, 已经填好了

为什么要递归这两个区间

只有这样才能保证区间中满足「保证 $a_{[L, R]}$ 和 $b_{[L, R]}$ 中数集相同」

实现

#include <bits/stdc++.h>
#define int long longconst int MAXN = 105;
const int MOD = 8580287;
namespace calc {int add(int a, int b) { return a + b > MOD ? a + b - MOD : a + b; }int mul(int a, int b) { return (a * b * 1ll) % MOD; }int sub(int a, int b) { return a - b < 0 ? a - b + MOD : a - b; }void addon(int &a, int b) { a = add(a, b); }void mulon(int &a, int b) { a = mul(a, b); }
} using namespace calc;int n;
int a[MAXN];
int f[MAXN][MAXN][MAXN];int dfs(int l, int r, int x) {if (l >= r) return 1;if (f[l][r][x] != -1) return f[l][r][x];bool useless = true; for (int i = l; i <= r; i++) if (a[i] >= x) useless = false;if (useless) return f[l][r][x] = 1;int mn = n + 1; for (int i = l; i <= r; i++) if (a[i] >= x) mn = std::min(mn, a[i]);if (mn > x) return f[l][r][x] = dfs(l, r, mn);int ans = 0;bool flag = false;for (int i = l; i <= r; i++) {if (a[i] == x) flag = true;if (a[i] >= x && flag) addon(ans, mul(dfs(l, i, x + 1), dfs(i + 1, r, x + 1)));}return f[l][r][x] = ans;
}signed main()
{scanf("%lld", &n); memset(f, -1, sizeof(f));for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);printf("%lld", dfs(1, n, 1));return 0;
}