第三章：计算机的数据表示

复习

1. 第一章：需要一台计算机，在研究其组成的方向上进行努力
2. 第二章：知道了计算机由输入设备、存储器、运算器和输出设备组成，这个体系目前还在沿用，现在该探究计算机怎样表示数据了

TL;DR

• 计算机使用二进制（0 和 1）表示所有数据，每一个 0 或 1 都是一个二进制位
• 为了表示简洁和方便，采用八进制或十六进制，后二者本质还是把三个或者四个二进制位揉到了一起，用一个新符号表示
• 更大的单位：KB，MB，GB，TB，PB，EB，ZB

正文

　　在了解了计算机的组成之后，我们需要思考一个关键问题：计算机如何表示和处理各种数据？

数据表示

　　回想一下，我们目前打算设计的计算机使用电能。而电子元件最容易实现两种状态：通电（1）和断电（0）。

　　这天然就是 2 种状态。

　　我们目前使用十进制，因为我们的手指和脚趾刚好各有 10 个，有 10 个状态，逢 10 进 1。玛雅人采用 20 进制；有些单位（一打）使用 12 进制。

　　那么可不可以设计出一种二进制，只有 2 个状态：0 和 1，逢 2 进 1？

• 十进制：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
• 二进制：0、1

　　十进制的计算方式能不能套用到二进制身上呢？

• 十进制的 13：13 = 13₁₀ = 1×10¹ + 3×10⁰（右下角的 10 表示采用十进制）
• 二进制的 13：13 = 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰（右下角的 2 表示采用二进制）

　　似乎可以，我们可以试试把二进制和十进制的 0-9 一一对应起来：

二进制	十进制	二进制	十进制
0000	0	0101	5
0001	1	0110	6
0010	2	0111	7
0011	3	1000	8
0100	4	1001	9

　　要表示更大的数字时，像十进制一样往上叠位数就好了。只是因为二进制只有 2 个数字，而十进制有 10 个数字，所以二进制表示相同的值时，位数要更多一些。

相关约定

　　为了方便计算机学界交流，这些有专业术语：

• 1 个二进制的 0 或 1 称为 bit，比特，用 b 表示
• 8 个二进制的 0 或 1 成为 Byte，字节，用 B 表示
  • 8 是人为规定的，二进制表示一个数据会非常长，表示 0-9 都需要 4 个 bit
• 16 个 bit 为 Halfword，半字，用 H 表示（字和半字的概念以后会讲）
• 32 个 bit 为 Word，字，用 W 表示（字和半字的概念以后会讲）

　　二进制太长，不方便阅读，人们又将 3 个或 4 个 bit 揉在一起，分别形成八进制和十六进制。

　　十六进制（Hexadecimal，简称 Hex）：

• 采用符号（16 个）：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f
• 表示方法：前缀（0x / 0X）+ 值，或者 值 + 后缀（h / H）
• 如0x0，0X0，0h，0H

　　八进制（Octal，简称 Oct）：

• 采用符号（8 个）：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• 表示方法：前缀（0o / 0O）+ 值，或者 值 + 后缀（o / O）
• 如0o0，0O0，0o，0O

　　二进制（Binary，简称 Bin）其实也有相应的表示方法，同上：

• 采用符号（2 个）：0, 1
• 表示方法：前缀（0b / 0B）+ 值，或者 值 + 后缀（b / B）
• 如0b0，0B0，0b，0B

　　十进制（Decimal，简称 Dec）不加任何前后缀。

　　下面是对照表（需要表示的值以十进制表示）：

十进制值	二进制	八进制	十六进制
0	0b0000 或 0000b	0o00 或 00o	0x0 或 0h
1	0b0001 或 0001b	0o01 或 01o	0x1 或 1h
2	0b0010 或 0010b	0o02 或 02o	0x2 或 2h
3	0b0011 或 0011b	0o03 或 03o	0x3 或 3h
4	0b0100 或 0100b	0o04 或 04o	0x4 或 4h
5	0b0101 或 0101b	0o05 或 05o	0x5 或 5h
6	0b0110 或 0110b	0o06 或 06o	0x6 或 6h
7	0b0111 或 0111b	0o07 或 07o	0x7 或 7h
8	0b1000 或 1000b	0o10 或 10o	0x8 或 8h
9	0b1001 或 1001b	0o11 或 11o	0x9 或 9h
10	0b1010 或 1010b	0o12 或 12o	0xA 或 Ah
11	0b1011 或 1011b	0o13 或 13o	0xB 或 Bh
12	0b1100 或 1100b	0o14 或 14o	0xC 或 Ch
13	0b1101 或 1101b	0o15 或 15o	0xD 或 Dh
14	0b1110 或 1110b	0o16 或 16o	0xE 或 Eh
15	0b1111 或 1111b	0o17 或 17o	0xF 或 Fh

数据大小单位

　　在计算机中，数据大小的单位遵循二进制的特点：

• 1 KB (Kilobyte) = 1024 B = 2¹⁰ B
• 1 MB (Megabyte) = 1024 KB = 2²⁰ B
• 1 GB (Gigabyte) = 1024 MB = 2³⁰ B
• 1 TB (Terabyte) = 1024 GB = 2⁴⁰ B

　　注意：这里的 1024（2¹⁰）而不是 1000（10³）是因为计算机使用二进制。

　　有趣的是，所有存储厂商使用和标注的 1 KB 并不是 1024 B，而是 1000 B，其他 MB 等单位同理。所以每个厂商标注 1 TB 或者 256 GB 等存储单位的硬盘容量，实际上比计算机认为的 1 TB 或 256 GB 要小一些。所以硬盘插上电脑之后，操作系统识别出来的硬盘容量总会比厂商标注的容量要小一些。这不是偷工减料，而是底数不相同。

特别注意

　　说了这么多进制可能有点晕。其实主要只有十进制与二进制。

　　八进制和十六进制其底层还是二进制，因为目前只有通电或断电两种状态。 使用是否通电理解二进制并不严谨，但于初学者而言容易理解且偏差不大（苏联曾经诞生过三进制计算机，但由于各种原因，并没有取代二进制成为现代计算机的基础）。

• 1 个八进制可以拆成 3 个二进制位，因为 8 = 2³
• 1 个十六进制可以拆成 4 个二进制位，因为 16 = 2⁴

　　只是因为 1101₂ 看起来不如 15₈ 和 D₁₆ 简洁（右下角表示进制），其中十六进制最简洁，只用 D 表示就可以了。

　　注意：上面的符号 A-F 只是人们的约定俗成，其实完全可以用其他符号表示。而至于怎样真正表示 字母形式的 A-F ，以后再说。

二进制的重要性

　　计算机采用二进制（0 和 1）表示数据有几个重要原因：

1. 硬件实现简单：电路的开和关、高电平和低电平可以直接对应 1 和 0
2. 运算规则简单：二进制的运算规则比十进制简单得多
3. 可靠性高：区分两种状态比区分多种状态更稳定可靠

思考题

　　如果未来发生了一场能源革命，发现一种新能源：另能。另能激活时，有 A、B、C 三种不同的形态，均可导通另路（类似电路）。

　　那么计算机是否会发生革命？如果你是另能计算机设计者，会采用几进制？

　　最后，冯·诺伊曼体系结构是否会随着技术发展而打破？

小结

知识点

• 二进制
• 八进制
• 十六进制
• 数据大小单位

参考资料

1. Wikipedia(zh)：二进制：计算机中的数据表示基础
2. 进制转换计算器
3. ISO/IEC 80000-13:2008：信息技术中的量和单位
4. 《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》
5. 《深入理解计算机系统》第 2 章：信息的表示和处理
6. Wikipedia(zh)：Сетунь：苏联诞生的三进制计算机。

思考题答案（仅供参考）

1. 会。因为元符号数量从 2 个增长为 4 个。
2. 4 进制。未导通态 1 个加上导通态 3 个，共 4 个。可以表示为 0-3，此时每 1 位（四进制）可以表示 2 个比特位（二进制）。
3. 科学和技术一直在进步。假设，某一天技术强大到所有输入和输出均可一个设备完成，则该体系也会随之淘汰。

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设计师 | 南国微雪
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