Float Double 浮点数 IEEE754 二进制表示法

news/2025/2/15 8:54:59/文章来源:https://www.cnblogs.com/zhangyukof/p/18716493

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Float二进制表示法

IEEE754标准中规定，单精度浮点数float占4字节32位
Sign(符号1位)|Exponent(指数8位 偏移127)|Mantissa(尾数23位)

Sign(符号)：表示浮点数的正负(大于等于0为0，小于0为1)
Exponent(指数)：表示浮点数的指数(类似科学计数法的指数部分)
Mantissa(尾数)：表示有效数字(类似科学计数法的有效数字)
以下内容简称这3部分分别为S、E、M

S、E、M 这3部分是怎么确定的呢？

比如11.25 表示成十进制的科学计数法: 1.125x101
符号是+，指数是1，有效数字是1.125

IEEE754是先把小数转成二进制，用二进制的科学计数法表示该小数。
还是以11.25为例:
S为0 (因为11.25不为负数)
把浮点数的整数部分和小数部分分别转成二进制，再拼到一起。

整数部分转二进制：

整数部分I为11，转成二进制为:1011
转换方法：整数除以2取余 余数倒序排列(除到整数部分为0)

11 ÷ 2 = 5 ··· 15 ÷ 2 = 2 ··· 12 ÷ 2 = 1 ··· 01 ÷ 2 = 0 ··· 1

小数部分转二进制：

小数部分F为0.25，转成二进制为:.01
转换方法：小数乘以2取整 整数正序排列(乘到小数部分为0，即余数为0)

0.25 x 2 = 0 ··· 0.5
0.5  x 2 = 1 ··· 0

整数和小数拼到一起：

IF = 1011.01

以二进制科学计数法表达：

IF = 1.01101x23

指数部分E：

E = 3， IEEE754规定这个值要加偏移值127
E = 3 + 127 = 130 转成二进制为:10000010
转换方法：整数除以2取余 余数倒序排列(除到整数部分为0)

130 ÷ 2 = 65 ··· 0 65 ÷ 2 = 32 ··· 132 ÷ 2 = 16 ··· 016 ÷ 2 =  8 ··· 08 ÷ 2 =  4 ··· 04 ÷ 2 =  2 ··· 02 ÷ 2 =  1 ··· 01 ÷ 2 =  0 ··· 1

尾数部分M：

M = 101101
由于二进制的科学计数法首位一定为1, 1可以省略不写，尾数部分就变成了01101
M = 01101

S、E、M三部分拼到一起：

0 | 10000010 | 01101 (后面补0够23位)
0 | 10000010 | 0110100 00000000 00000000

11.25转成float二进制最终结果就是：
0 10000010 0110100 00000000 00000000
用《在线浮点数转换工具》验证一下，结果正确。
float_11.25

二进制转Float

二进制11000000110110000000000000000000转Float怎么转呢?

还是先把二进制分为S、E、M三部分，分别转换后计算最终结果。

S(1位)|E(8位)|M(23位) 即
1 | 10000001 | 1011000 00000000 00000000
符号S: 1(值大于等于0时 S为0 值小于0时 S为1)
指数E：10000001
尾数M：1011000 00000000 00000000

指数E转整数：

E = 1000 0001 转整数
转换方法：从低位到高位 按位转成10进制相加

1x2⁷ + 0x2⁶ + 0x2⁵ + 0x2⁴ + 0x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ =
128  + 0    + 0    + 0    + 0    + 0    + 0    + 1    = 129

减去127(转二进制之前加了指数偏移量127 还原时需要减回来)
E = 129 - 127 = 2

尾数M转小数:

M = 1011
首位补1(为了节省空间 转换时去掉了首位的1 还原时需要补回来)
M = 11011
有效数字 科学计数法
M = 1.1011 x 22
M = 110.11
整数部分 I = 110 小数部分 F = .11

整数部分I转10进制:

I = 110 转成10进制为:6

1x2² + 1x2¹ + 0x2⁰ =
4    + 2    + 0    = 6

I = 6

F = .11 转为float为0.75

1x(½)¹ + 1x(½)² =
1/2    + 1/4    =
0.5    + 0.25   = 0.75

整数和小数部分拼接到一起:
6 + 0.75 = 6.75

加上符号位:
S = 1 (负数 符号为-)
float = -6.75

11000000110110000000000000000000 转成十进制最终结果就是 -6.75
用《在线浮点数转换工具》验证一下，结果正确。
float__6.75

Float特殊值

IEEE754规定了3个特殊值NaN、Infinity、-Infinity
分别代表:非数字(Not a number)、正无穷、负无穷
这个三个特殊值在转换时需要特殊处理

特殊值转换规则：

当指数E全部为1时为特殊值

1.尾数M全部为0

(1)符号位S为0时 值为正无穷Infinity

float_Infinity

(2)符号位S为1时 值为负无穷-Infinity

2.尾数M不全部为0

不管符号位S是0还是1 值均为NaN

float_NaN

float_NaN_2

Float序列化代码

private byte[] bytes = new byte[4];// float转字节数组
private void WriteFloat(float value) {int v = 0;unsafe { v = *(int*)&value; }bytes[0] = (byte)v;bytes[1] = (byte)(v >> 8);bytes[2] = (byte)(v >> 16);bytes[3] = (byte)(v >> 24);
}// 从字节数组中读取float
private float ReadFloat() {uint v = (uint)(bytes[0] | bytes[1] << 8 | bytes[2] << 16 | bytes[3] << 24);float value = float.NaN;unsafe { value = *(float*)&v; }return value;
}private void Test() {WriteFloat(1.23f);float v = ReadFloat();Trace.WriteLine(v);
}

Double二进制表示法

IEEE754标准中规定，双精度浮点数double占8字节64位
S、E、M三部分分别为:
S(1位)|E(11位 偏移1023)|M(52位)

以9.625为例：

S = 0 (正数)

整数部分转二进制：

整数部分 I = 9 转二进制为:1001
转换方法：整数除以2取余 余数倒序排列(除到整数部分为0)

 9 ÷ 2 = 4 ··· 1 4 ÷ 2 = 2 ··· 02 ÷ 2 = 1 ··· 01 ÷ 2 = 0 ··· 1

小数部分转二进制：

小数部分F为0.625，转成二进制为:.101
转换方法：小数乘以2取整 整数正序排列(乘到小数部分为0，即余数为0)

 0.625 x 2 = 1 ··· 0.250.25  x 2 = 0 ··· 0.50.5   x 2 = 1 ··· 0

整数和小数拼到一起：

IF = 1001.101

以二进制科学计数法表达：

IF = 1.001101 x 23

指数部分E：

E = 3, 加上偏移值1023
E = 1026 转成二进制为:10000000 010

转换方法：整数除以2取余 余数倒序排列(除到整数部分为0)

1026 ÷ 2 = 513 ··· 0513 ÷ 2 = 256 ··· 1256 ÷ 2 = 128 ··· 0128 ÷ 2 =  64 ··· 064 ÷ 2 =  32 ··· 032 ÷ 2 =  16 ··· 016 ÷ 2 =   8 ··· 08 ÷ 2 =   4 ··· 04 ÷ 2 =   2 ··· 02 ÷ 2 =   1 ··· 01 ÷ 2 =   0 ··· 1

尾数部分M：

M = 1001101
由于二进制的科学计数法首位一定为1, 1可以省略不写，尾数部分就变成了001101
M = 001101

S、E、M三部分拼到一起：

S(1位)|E(11位 偏移1023)|M(52位)
0 | 10000000 010 | 0011010... (后面补0够52位)

9.625转成double二进制最终结果就是 0 10000000010 0011010···
用《在线浮点数转换工具》验证一下，结果正确。
double_9.625

二进制转Double

二进制110000000101100100010···转double怎么转呢?
还是先把二进制分为S、E、M三部分，分别转换后计算最终结果。

1 | 10000000101 | 100100010···
S = 1 是负数 符号为-
E = 10000000101
M = 100100010···

指数E转整数：

E = 1000 0000 101 转整数
转换方法为:从低位到高位 按位转成10进制相加

1x2¹⁰ + 0x2⁹ + 0x2⁸ + 0x2⁷ + 0x2⁶ + 0x2⁵ + 0x2⁴ + 0x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ =
1024  + 0    + 0    + 0    + 0    + 0    + 0    + 0    + 4    + 0    + 1    = 1029

减去1023(转二进制之前加了指数偏移值1023 还原时需要减回来)
E = 1029 - 1023 = 6

尾数M转小数:

M = 1001 0001
首位补1(为了节省空间 转换时去掉了首位的1 还原时需要补回来)
M = 1100 1000 1
有效数字 科学计数法
M = 1.10010001 x 26
M = 1100100.01
整数部分 I = 1100100 小数部分 F = .01

整数部分I转10进制:

I = 1100100 转成10进制为:100
转换方法为:从低位到高位 按位转成10进制相加

1x2⁶ + 1x2⁵ + 0x2⁴ + 0x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 0x2⁰ =
64   + 32   + 0    + 0    + 4    + 0    + 0    = 100

I = 100

小数部分F转10进制:
F = 01 转成10进制为：0.25

0x(½)¹ + 1x(½)² =
0      + 1/4    =
0      + 0.25    = 0.25

F = 0.25

整数和小数部分拼接到一起:
100 + 0.25 = 100.25

加上符号位:
S = 1 (负数 符号为-)
double = -100.25

二进制110000000101100100010··· 转成十进制最终结果就是 -100.25
用《在线浮点数转换工具》验证一下，结果正确。
double__1.0025e2

Double特殊值

IEEE754规定了3个特殊值NaN、Infinity、-Infinity
分别代表:非数字(Not a number)、正无穷、负无穷
这个三个特殊值在转换时需要特殊处理
double_特殊值

特殊值转换规则：

当指数E全部为1时为特殊值

1.尾数M全部为0

(1)符号位S为0时 值为正无穷Infinity

double_Infinity

(2)符号位S为1时 值为负无穷-Infinity

double__Infinity

1.尾数M不全部为0

不管符号位S是0还是1 值均为NaN

double_NaN

double_NaN_2

Double序列化代码

private byte[] bytes = new byte[8];private void WriteDouble(double value) {long v = 0;unsafe { v = *(long*)&value; }bytes[0] = (byte)v;bytes[1] = (byte)(v >> 8);bytes[2] = (byte)(v >> 16);bytes[3] = (byte)(v >> 24);bytes[4] = (byte)(v >> 32);bytes[5] = (byte)(v >> 40);bytes[6] = (byte)(v >> 48);bytes[7] = (byte)(v >> 56);
}public double ReadDouble() {int low = bytes[0] | bytes[1] << 8 | bytes[2] << 16 | bytes[3] << 24;int high = bytes[4] | bytes[5] << 8 | bytes[6] << 16 | bytes[7] << 24;long v = (uint)low | (long)high << 32;double value = double.NaN;unsafe { value = *(double*)&v; }return value;
}private void DoubleTest() {WriteDouble(-1.23456d);double v = ReadDouble();Trace.WriteLine(v);
}

总结：

Float转换规则

Sign(符号1位)|Exponent(指数8位 偏移值127)|Mantissa(尾数23位)

Double转换规则

Sign(符号1位)|Exponent(指数11位 偏移值1023)|Mantissa(尾数52位)

特殊值####

NaN、Infinity、-Infinity

if (指数E全部为1) {// 特殊值if (M == 0) {// 判断符号位if (S == 0) {// Infinity			} else {// -Infinity}} else {// NaN}
} else {// 正常值
}

IEEE754浮点数常见问题

1.有效数字位数限制

Float单精度浮点数大约6位有效数字
Double双精度浮点数大约15位有效数字
也就是说从左侧第一个不0的数字开始，Float能保证6位有效数字，再往后就不保证有效了
比如123.456f、0.123456f有效，12345.12345f(赋值后等于12345.123)、123456.1234f(赋值后等于123456.125)不能保证有效
Double能保证15位有效数字，再往后就不保证有效了
具体细节可以查看官方文档：C# 浮点数精度

2.尾数无限循环问题

由于浮点数转换为二进制时，某些数据比如0.1 小数部分乘2以后不能完全乘尽(0.2、0.4、0.8、0.6、0.2、0.4、0.8、0.6... 无限循环) 所以小数会出现丢失精度的情况，不能完全准确的表达这些乘不尽的情况，所以遇到类似精度丢失，数据变大了一点点，变小了一点点的问题，知道是这个原理导致的问题，既不是你写错了，也不是计算机出bug了，完全是转换规则的问题。float类型换成double提高精度依然会有该问题。想解决精度丢失的问题，可以把数字的小数部分当成整数计算 比如a=1.1 b=1.3 计算a+b 可以这样(Math.Round(a10) + Math.Round(b10)) / 10 注意数字别溢出最大范围

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