ATG1E BBQ Hard 学习笔记-编程知识

ATG1E BBQ Hard 学习笔记

news/2025/2/22 13:32:59/文章来源:https://www.cnblogs.com/OrinLoong/p/18719456

ATG1E BBQ Hard 学习笔记

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题意简述

计算 $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \dbinom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}$$ 的值。答案对 $10^9+7$ 取模。

$N\le 2\times 10^5,a_i,b_i\le 2\times 10^3$。

做法解析

$O(N^2)$ 的做法是暴力枚举 $i,j$，$O(1)$ 计算出 $\dbinom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}$，将结果全部相加即可。

怎么优化？我们不妨先考虑一下其组合意义。众所周知 $\dbinom{x+y}{x}$ 的一个组合意义是：只往右或上走，从 $(0,0)$ 走到 $(x,y)$ 的方案数（相当于往 $x$ 个向右走操作中插入 $y$ 个向上走操作的方案数）。所以我们要求的东西就是从 $(0,0)$ 走到所有 $(a_i+a_j,b_i+b_j)$ 的方案数。这么做起点只有一个，却要一个个统计 $O(N^2)$ 个终点的答案，太劣了。

考虑复杂度平衡。我们把网格图从 $((0,0),(a_i+a_j,b_i+b_j))$ 平移到 $((-a_i,-b_i),(a_j,b_j))$。现在就变为了 $O(N)$ 个起点，$O(N)$ 个终点。我们 $O(N)$ 地将每个起点的初始方案数加一，然后递推一遍组合数，最后 $O(N)$ 收集每个终点的方案数。优异啊！

pEMpJVe.md.png

由于题目要求只统计 $i<j$ 的方案数，所以要减去自己做起点到自己做重点的方案数，最后乘上 $2$ 的逆元。这道题就做完了！

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{typedef long long lolo;template <typename _T>void readi(_T &x){_T k=1;x=0;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';x*=k;return;}template <typename _T>void writi(_T x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)writi(x/10);putchar(x%10+'0');}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=2e5+5,MaxM=2e3+5,Mod=1e9+7,Df=2001;
int N;lolo A[MaxN],B[MaxN],facr[MaxM<<2],finv[MaxM<<2];
namespace omathe{lolo fastpow(lolo a,lolo b,lolo p){lolo res=1;for(;b;(a*=a)%=p,b>>=1)if(b&1)(res*=a)%=p;return res;}lolo getinv(lolo a,lolo p){return fastpow(a,p-2,p);}lolo Comb(lolo n,lolo m,lolo p){return facr[n]*finv[n-m]%p*finv[m]%p;}
};
using namespace omathe;
void prework(int n){facr[0]=finv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)facr[i]=facr[i-1]*i%Mod;finv[n]=getinv(facr[n],Mod);for(int i=n-1;i;i--)finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
lolo C[MaxM<<1][MaxM<<1],ans;
int main(){readi(N);prework(Df*4+4);for(int i=1;i<=N;i++)readi(A[i]),readi(B[i]);for(int i=1;i<=N;i++)C[Df-A[i]][Df-B[i]]++;for(int i=1;i<=Df*2;i++){for(int j=1;j<=Df*2;j++){(C[i][j]+=(C[i-1][j]+C[i][j-1])%Mod)%=Mod;}}for(int i=1;i<=N;i++){(ans+=C[A[i]+Df][B[i]+Df])%=Mod;(ans+=Mod-Comb(A[i]*2+B[i]*2,A[i]*2,Mod))%=Mod;}(ans*=getinv(2,Mod))%=Mod;writi(ans);return 0;
}