前言
这题不需要树剖或 \(\text{Tarjan}\) 等我不会的算法，只需线段树合并即可。
解题思路
首先我们先随便建出一个最小生成树，树边比较难考虑，先考虑非树边。
对于一条非树边，它只可能是情况 \(2\) 或者 \(3\)，这点是显然的。
假设这条边连接 \(x\) 和 \(y\)，边权为 \(w\)，那么它可以被纳入最小生成树，当且仅当 \(x\) 到 \(y\) 这条路径上的最大边权等于 \(w\)，因为这样就可以把这条边换上去且不影响连通性。
对于一条树边，它只可能是情况 \(1\) 或者 \(3\)，这点也是是显然的。
假设存在一条可以替换它的边连接 \(x\) 和 \(y\)，边权为 \(w\)，那么成立的条件就是 \(x\) 到 \(y\) 这条路径包含这条树边，且 \(w\) 等于这条树边的边权。
那么我们可以枚举每一条非树边 \((x,y,w)\)，将 \(x\) 到 \(y\) 这条路径上的每一条边都尝试更新其最小值为 \(w\)，最后判断每一条边的最小值是否等于其边权。这一步可以使用树链剖分，但是我不会，所以线段树合并做法就此诞生！
我们对于每一个点开一个动态开点权值线段树，对于一次操作，在 \(x\) 和 \(y\) 的 \(lca\) 点的对应线段树上的位置减 \(2\)，在 \(x\) 和 \(y\) 对应线段树上的位置加 \(1\)，最后只要扫一遍整棵树，从下往上合并，并求出每个点最小的 \(> 0\) 的位置判断即可。
代码实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
struct Edge{int x, y, w, id;bool operator < (const Edge A) const {return w < A.w;}
}e[N];
int n, m, fa[N], res, rt[N][19], mx[N][19], dep[N], vis[N], ans[N];
vector<pair<int, int> > v[N];
int find(int x){if(x == fa[x]) return x;return fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y){x = find(x), y = find(y);fa[x] = y;
}
void kruskal(){sort(e + 1, e + 1 + m);for(int i = 1; i <= m; i++){if(find(e[i].x) == find(e[i].y)) continue;merge(e[i].x, e[i].y);res += e[i].w, vis[e[i].id] = 1;v[e[i].x].push_back(make_pair(e[i].y, e[i].w));v[e[i].y].push_back(make_pair(e[i].x, e[i].w));}
}
void dfs(int x, int fa){dep[x] = dep[fa] + 1;for(int i = 1; i <= 18; i++){rt[x][i] = rt[rt[x][i - 1]][i - 1];mx[x][i] = max(mx[x][i - 1], mx[rt[x][i - 1]][i - 1]);}for(auto e : v[x]){int y = e.first, w = e.second;if(y == fa) continue;mx[y][0] = w, rt[y][0] = x;dfs(y, x);}
}
pair<int, int> LCA(int x, int y){int maxn = 0;if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);for(int tmp = dep[y] - dep[x], i = 0; tmp; i++, tmp >>= 1)if(tmp & 1){maxn = max(maxn, mx[y][i]);y = rt[y][i];}if(x == y) return make_pair(x, maxn);for(int i = 18; i >= 0; i--){if(rt[x][i] != rt[y][i]){maxn = max(maxn, mx[x][i]);maxn = max(maxn, mx[y][i]);x = rt[x][i];y = rt[y][i];}}maxn = max(maxn, mx[x][0]);maxn = max(maxn, mx[y][0]);return make_pair(rt[x][0], maxn);
}
bool cmp(Edge A, Edge B){return A.id < B.id;
}
int root[N];
struct Segment{int t[N * 20], ls[N * 20], rs[N * 20], cnt;void pushup(int op){t[op] = t[ls[op]] + t[rs[op]];}void update(int l, int r, int &op, int x, int val){if(!op) op = ++cnt;if(l == r){t[op] += val;return;}int mid = (l + r) >> 1;if(mid >= x) update(l, mid, ls[op], x, val);if(mid + 1 <= x) update(mid + 1, r, rs[op], x, val);pushup(op);return;}int merge(int l, int r, int op1, int op2){if(!op1) return op2;if(!op2) return op1;if(l == r){t[op1] += t[op2];return op1;}int mid = (l + r) >> 1;ls[op1] = merge(l, mid, ls[op1], ls[op2]);rs[op1] = merge(mid + 1, r, rs[op1], rs[op2]);pushup(op1);return op1;}int query(int l, int r, int op){if(l == r) return l;int mid = (l + r) >> 1;if(t[ls[op]] > 0) return query(l, mid, ls[op]);else if(t[rs[op]] > 0) return query(mid + 1, r, rs[op]);else return 0; }
}T;
map<pair<int, int>, int> mp;
void dfs1(int x, int fa, int w1){for(auto e : v[x]){int y = e.first, w = e.second;if(y == fa) continue;dfs1(y, x, w);T.merge(1, M - 10, root[x], root[y]);}if(x == 1) return;if(w1 == T.query(1, M - 10, root[x]))mp[make_pair(x, fa)] = mp[make_pair(fa, x)] = 2;else mp[make_pair(x, fa)] = mp[make_pair(fa, x)] = 1;
}
int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i, root[i] = i;T.cnt = n;for(int i = 1; i <= m; i++){int x, y, w;cin >> x >> y >> w;e[i] = Edge{x, y, w, i};}kruskal();dfs(1, 1);sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);for(int i = 1; i <= m; i++){if(!vis[i]){auto ow = LCA(e[i].x, e[i].y);int maxn = ow.second, lca = ow.first;if(maxn == e[i].w){T.update(1, M - 10, root[lca], e[i].w, -2);T.update(1, M - 10, root[e[i].x], e[i].w, 1);T.update(1, M - 10, root[e[i].y], e[i].w, 1);ans[i] = 2;}}}dfs1(1, 1, -1);for(int i = 1; i <= m; i++){if(vis[i])ans[i] = mp[make_pair(e[i].x, e[i].y)];if(ans[i] == 0)cout << "none" << endl;else if(ans[i] == 1) cout << "any" << endl;else cout << "at least one" << endl;}return 0;
}
