【欧拉路径】【矩阵树】笔记

约定

• 在下文中，索引从 \(1\) 开始。

存在欧拉路径的判断

无论是有向图还是无向图，仅考虑起点、终点和其他节点的度数即可。

找到欧拉路径

若判定存在欧拉路径，从起点开始 dfs，边的出栈序即为所求。需要当前弧优化，能做到 \(O(m)\)（\(m\) 为边数）。

最小化字典序

直接将边排序，贪心 dfs 即可。

欧拉路径的应用

边定向问题

问题：给定 \(m\) 个二元组构成的组 \(E=((u_1,v_1),(u_2,v_2),\dots,(u_m,v_m))\)，你需要将所有二元组重排序，并将组 \(E\) 重排序，使得 \(\forall i\)，满足 \(E[i][2]=E[i+1][1]\)。

解说：这就是寻找欧拉路径。

双重平均分配问题

问题：给定大小为 \(n\times m\) 的数组 \(S\)，且 \(\forall i,j\)，有 \(S[i][j]\in\mathbb{N}\)。你需要构造一个 \(n\times m\) 的非负整数数组 \(A\)，满足

1. \(\forall i,j\)，满足 \(A[i][j]\leq S[i][j]\).
2. \(\forall i\)，满足 \(\displaystyle \sum_{j=1}^m A[i][j]=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^m S[i][j]\).
3. \(\forall j\)，满足 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n A[i][j]=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n S[i][j]\).

若不存在构造，需报告无解。

解说：建无向图 \(G\)，建立点集 \(\{x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2\dots,y_m\}\)。\(\forall i,j\)，连接 \(S[i][j]\) 条无向重边 \(x_i\leftrightarrow y_j\)。若 \(G\) 存在欧拉回路，则有解。设欧拉回路为 \(P\)，则 \(A[i][j]\) 可构造为 \(P\) 中边 \(x_i\to y_j\) 的条数。时间复杂度 \(O(n+m+\sum S[i][j])\)。

例题：P9731 [CEOI 2023] Balance - 洛谷

行列式求值

有的时候，直接 \(O(n^3)\) 正常消元即可。

任意模数行列式求值

需要使用辗转相除来实现消元。时间复杂度 \(O(n^2\log V+n^3)\)。

P7112 【模板】行列式求值 - 洛谷

矩阵树定理（无证明）

无向图生成树计数：\((\)度数矩阵 \(-\) 邻接矩阵\()\) 的任意余子式。

有向图内向生成树计数：\((\)出度矩阵 \(-\) 邻接矩阵\()\) 的根余子式。

有向图外向生成树计数：\((\)入度矩阵 \(-\) 邻接矩阵\()\) 的根余子式。

BEST 定理

对于有向欧拉图 \(G=(V,E)\)，欧拉回路数量为（回路无起点，边有标号）

\[\boxed{T[S]\times\prod_{u\in V} (\text{deg[u]}-1)!} \]

其中 \(\text{deg}[u]\) 为节点 \(u\) 的出度（也是入读），\(T[S]\) 表示以 \(S\) 为根的内向生成树数量。

证明可以考虑构造欧拉路和内向生成树的双射，让内向生成树的边成为关于该节点最后一条边。

这可以得到，\(\forall u,v\)，有 \(T[u]=T[v]\)。

例题：P10101 [ROIR 2023] 一个普通的字符串问题 (Day 2) - 洛谷