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数字转换
这是一道树的直径题。
首先，树的直径定义是：树上两个结点之间的最短（加权）路中最长的一条路径（和二分答案没关）
但由于贪心思想，这个路径一定起点终点是两片叶子结点
如图，这棵树的直径就是5，即节点3和节点4之间的最短路径
那么，求树的直径有啥方法？
方法一：找每个节点的最长链与次长链之和的最大值
这是代码
// 树的直径 dp实现;
// https://blog.csdn.net/qq_42211531/article/details/86579115
// dp[u][0]: 结点u的最长儿子链
// dp[u][1]: 结点u的次长儿子链
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int const MAX = 100005;
int head[MAX], dp[MAX][2];
int n, s, cnt, ans;struct EDGE
{int v, w, next;
}e[MAX];void Add(int u, int v, int w)
{e[++cnt].v = v;e[cnt].w = w;e[cnt].next = head[u];head[u] = cnt;
}// 利用孩子的最长链去更新父亲的最长链和次长链
void DFS(int u, int fa)
{//dp[u][0]:最长子链； dp[u][1]:次长子链 dp[u][0] = dp[u][1] = 0;for(int i = head[u]; i ; i = e[i].next){int v = e[i].v;int w = e[i].w;if(v != fa){DFS(v, u);if(dp[u][0] < dp[v][0] + w) // 父亲u的最长 < 孩子v的最长 + （u,v）边长 {dp[u][1]= dp[u][0];dp[u][0] = dp[v][0] + w;}else if(dp[u][1] < dp[v][0] + w)dp[u][1] = dp[v][0] + w;}}//枚举经过每个节点的长链，是否最大？ ans = max(ans, dp[u][1] + dp[u][0]);
}int main()
{memset(head, 0, sizeof(head));scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n - 1; i++){int u, v, w;scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);Add(u, v, w);Add(v, u, w);}DFS(1, -1); //假设1作为无根树的树根； printf("%d\n",ans);
}
从下往上推的话
首先是3，4的最长链，次长链都没有，=0，所以ans还是0
其次是2，先遍历3，最长=0+4，然后来,4，次长=最长=4，最长=0+5，ans=4+5=9
然后是5，最长次长都是0，ans不变
最后是1，最长=5+1，次长=0+2，总和=8<9，ans不变还是9
所以最长就是9，是3->2->4这条
可见，树的直径不一定经过根节点！
方法二：先找距离根节点最远的点，再找距离这个点最远的点（2次dp）
这是代码
//https://blog.csdn.net/Rainfoo/article/details/105290837
//图论-树-最长链（树的直径）
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=2e5+5;
int d[maxn],head[maxn],f_num,ans,tot;
struct E{int to,next,w;
}edge[maxn];
void add(int u,int v,int z){edge[tot].to=v;edge[tot].w=z;edge[tot].next=head[u];head[u]=tot++;
}
void dfs(int x,int fa){if(ans<d[x]){ans=d[x];f_num=x;}for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if(v==fa) continue;d[v]=d[x]+edge[i].w;dfs(v,x);}
}
int main(){memset(head,-1,sizeof(head));int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v;//cin>>w;add(u,v,w);add(v,u,w);}dfs(1,0);ans=0;d[f_num]=0;dfs(f_num,0);cout<<ans<<endl;
}从1开始找，最远的点是4,
再从4开始找，最远的节点是3
注意，这里dfs函数中的fa参数指的并不是真正的父节点，只是从哪里来的，即上一个节点
然后这是这道题
只不过所有边的权值都是1罢了
然后n起到一个什么作用呢？
这个n既不是根节点，也不是起点或终点
它只起到一个限定作用，限定所有变换中的数必须<=n
数字转换
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
const int INF=0x3f3f3f;
const double eps=1e-5;
const int maxn=5e4+10;
/*题意：若是一个数x的所有约数（不包括他自己）之和sum比他自己小，
那么x可以转化成sum，sum也可以成 x。例如 4可以变为 3，1可以变为7
限制所有数字变换在不跨越 n的正整数范围内举行转化，求不停举行数字变换且无重复数字的最多变换步数*/
int sum[maxn];//预处理每个数的约数之和
int f1[maxn],f2[maxn];//f1：以i为根的树中，i到叶子节点的最长距离，f2 ：....次长距离
//直径就是 max(f1[i]+f2[i]) 就是树中所有的两点最短距离中的最大值
//
int n;
void getsum()//预处理每个数的约数之和
{for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=2;j<=n/i;j++){sum[i*j]+=i; //i是i*j的约数 }}
}
int main()
{
// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0);
// cout.tie(0);scanf("%d",&n);getsum();for(int i=n;i>=1;i--){if(sum[i]>=i) continue;//把sum[i]看成i的父亲,因为每个i的sum[i]都是唯一的 而能变成i的数不唯一if(f1[i]+1>f1[sum[i]]) {f2[sum[i]]=f1[sum[i]];f1[sum[i]]=f1[i]+1;}else if(f1[i]+1>f2[sum[i]]) f2[sum[i]]=f1[i]+1;}int ans=-1;for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f1[i]+f2[i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}-
皇宫看守
这是一道树形dp题
简单说下思路就行：一个点必须要被看守，那么有三种情况：
在这个点安排守卫，父亲安排守卫，孩子安排守卫
1.在这个点安排守卫，就需要付自己的钱和孩子的钱
优点：没啥顾虑，这个点一定有人看守
缺点：费钱
2.父亲安排守卫就，只需要付孩子的钱就行
优点：省钱
缺点：条件苛刻，必须要父亲自己看守才能使用
3.让孩子安排守卫，只需要付孩子的钱就行
优点：还是省钱
缺点：如果所有孩子都不愿意自己看守（即所有孩子自己看守的花费>让孩子的孩子看守孩子的花费）
这时候必须要强制把一个孩子拉出来干活，即fake
这是代码
// 皇宫看守 loj 10157
// https://www.cnblogs.com/Forever-666/p/11234958.html
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=2200;
struct E{int x,y,next;}mm[MAXN<<1];
int w[MAXN],h[MAXN],len,f[MAXN][3],n;void ins(int x,int y)
{++len;mm[len].x=x;mm[len].y=y;mm[len].next=h[x];h[x]=len;
}
void dfs(int x,int fa)
{int sum1=0,sum2=0,flag=0,fake=0x7fffffff;for(int k=h[x];k;k=mm[k].next){int y=mm[k].y;if(y==fa) continue;dfs(y,x);sum1+=min(f[y][0],min(f[y][1],f[y][2]));if(f[y][0]<=f[y][2]){sum2+=f[y][0];flag=1;}else {sum2+=f[y][2];fake=min(fake,f[y][0]-f[y][2]); //防止所有的孩子都不选，选一个最小的 }}f[x][0]=sum1+w[x]; //f[i][0]: 自己站 f[x][1]=sum2; //f[i][1]:被父亲照顾 f[x][2]=sum2; //f[i][2]:被孩子照顾 if(!flag) f[x][2]+=fake;
}
int main()
{scanf("%d",&n);memset(h,0,sizeof h);len=0;for(int i=1,x,t,y;i<=n;i++){scanf("%d",&x);scanf("%d%d",&w[x],&t);for(int j=1;j<=t;j++){scanf("%d",&y);ins(x,y);ins(y,x);}if(t==0){f[x][1]=0;f[x][0]=f[x][2]=w[x];}}dfs(1,0);printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][2]));for(int i=1;i<=n;i++)cout<<f[i][0]<<" "<<f[i][1]<<" "<<f[i][2]<<"\n"; return 0;
}
