洛谷P8614计数题解答

题目来源：洛谷P8614（https://www.luogu.com.cn/problem/P8614）
题目大意：一整数数列，长度为n，和为s，后一个数字为前一个数字 +a / -b

计数题： dp / 数学找规律
此题中 n的范围为<1000，可以通过dp（ 因为O(n2)能够实现 ）

公式推导：
令 P = +a 或者 -b

s=na1+（0+1+2+···+n-1）P
=na1 + Z
因为a1一定是整数，所以 s mod n 和 Z mod n 的值应该相同。
利用这一特点，dp的转换方程即可产生。

转换方程：
dp[i][j] 表示后 i 项的和模 n 后等于 j 时的方案数。
dp[i][j] = (dp[i-1][ MOD(j-i*a%n,n) ] + dp[i-1][ MOD(j+i*b%n,n) ]) % mod;
其中MOD函数为 (x % n + n) % n

要求 s % n的值和除了a1 的其他数字之和模n的值相同
从后往前思考：
当 i = n-1 时，要求与 s % n相同。
i从 n-2 到 n-1 的过程中，P等于 +a 或 -b ；所以总和会 +（n-1）a 或是 -（n-1）b
（这里i变化后加的数字相当于数列的第二个数字，其实 i 从 0 到 n-1 的变化过程中，代码中加的数字是从数列的最后一个数字开始往前加的 ）
所以求 dp[i][j] 就相当于把 dp[i-1]相对应的两个答案相加

注意 ：

1. 为何MOD函数需要 +n 再 %n ： 防止x为负数，在数组取值时出现数组越界问题
2. 为何最后的答案为 dp[n-1][(s%n+n)%n] ： 公式成立的条件为第一个数a1为整数，所以dp过程中不包括a1，所以P操作只需要进行 n-1 次。
3. dp[0][0]=1 ： 即当0个数字相加时，只有和为0存在方案，方案数为1，和为其他数字的方案数都为0。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e8+7;
const int N=1010;
ll MOD( ll x ,ll n){return (x%n+n)%n;
}
ll dp[N][N];
int main(){ll n,s,a,b;cin>>n>>s>>a>>b;dp[0][0]=1;for(int j=1;j<n;j++) dp[0][j]=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<n;j++){dp[i][j]=(dp[i-1][ MOD(j-i*a%n,n) ]+dp[i-1][ MOD(j+i*b%n,n) ])%mod;}}cout<<dp[n-1][(s%n+n)%n]<<endl;return 0;
}