15 特征值和特征向量
15.1 定义
设存在n阶矩阵A:
\[A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\]
对于n阶矩阵\(A\)，若存在数\(\lambda\)、n维非零列向量\(x\)，使：
\[A \cdot x=\lambda \cdot x
\]
则称数\(\lambda\)为矩阵A的\(特征值\)，称\(x\)为A对应于\(\lambda\)的\(特征向量\)
15.2 相关性质
由定义$A \cdot x=\lambda \cdot x $可得：
\[(A-E\lambda)\cdot x=
\begin{bmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-\lambda\\
\end{bmatrix}
=0
\]
\(性质1\qquad\)由克莱姆法则可知式(5)为齐次方程，若有解，则：
\[\begin{vmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-\lambda\\
\end{vmatrix}=0
\]
由上可推出以下性质：
\[\begin {array}{c}
性质2&\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\\\\
性质3&\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot\lambda_n=|A|\\\\
\end {array}
\]
15.3 特征值、特征向量求解示例
15.3.1 二阶矩阵的求解
设存在矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
3&-1\\
-1&3
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
\[|A-\lambda \cdot E|=
\begin{vmatrix}
3-\lambda&-1\\
-1&3-\lambda
\end{vmatrix}
=(3-\lambda)^2-1
\]
\[\qquad\qquad\quad
=8-6\lambda+\lambda^2
=(4-\lambda)\cdot(2-\lambda)
\]
由性质1可知：
\[(4-\lambda)\cdot(2-\lambda)=0 \Rightarrow (\lambda_1=4,\lambda_2=2)
\]
A对应\(\lambda_1=4\)的特征向量求解过程如下：
\[由：
(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0
可得：
\]
\[\begin{bmatrix}
3-4&-1\\
-1&3-4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[\qquad\quad\;
\Rightarrow-x_1-x_2=0
\]
\[ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x_1=-x_2
\]
则A对应\(\lambda_1=4\)的特征向量可取值为：
\[k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
同理，A对应\(\lambda_2=2\)的特征向量可取值为（过程略）：
\[k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
15.3.2 三阶矩阵的求解（示例1）
设存在如下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
-1&1&0\\
-4&3&0\\
1&0&2
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
\[|A-\lambda \cdot E|=
\begin{vmatrix}
-1-\lambda&1&0\\
-4&3-\lambda&0\\
1&0&2-\lambda
\end{vmatrix}=0
\]
将上式按第3列展开，得：
\[（2-\lambda）\cdot [(-1-\lambda)\cdot(3-\lambda)+4]=0
\]
\[(2-\lambda)\cdot(1-2\lambda+\lambda^2)=0
\]
\[(2-\lambda)\cdot(\lambda-1)^2=0
\]
解得：
\[\lambda_1=2，\lambda_2=\lambda_3=1
\]
A对应\(\lambda_1=2\)的特征向量求解过程如下：
\[A-\lambda \cdot E=
\begin{bmatrix}
-3&1&0\\
-4&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
上式中，第3列为全0，故可进行\(矩阵初等行变换\)，尽量接近或等价于矩阵标准形：
\(r_1 - r_2\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
-4&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_2 + 4r_3\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_3 - r_1\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(由(A-\lambda \cdot E)\cdot x=0得：\)
\[\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=0
\]
\(A-\lambda \cdot E第3列为全0，故按列乘以x，有x_1+x_2=0，可解得\)：
\[\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=
k \cdot
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
A对应\(\lambda_2=\lambda_3=1\)的特征向量求解过程如下：
\[A-\lambda \cdot E=
\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
-4&2&0\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
根据观察，可进行\(初等行变换\)，尽量接近或等价于矩阵标准形：
\(r_2 \cdot \frac{1}{2}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
-2&1&0\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_2+2r_3\)：
\[\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_1-r_2\)：
\[\begin{bmatrix}
-2&0&-2\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_1+3r_3\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_3-r_1\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(由(A-\lambda \cdot E)\cdot x=0得：\)
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=0
\]
\(A-\lambda \cdot E第3行为全0，故按行乘以x\)：
\[\begin {cases}
x_1+x_3=0 \\
x_2+2x_3=0 \\
\end {cases}
\]
\(由第3行为全0，可设x_3=1，故可解得：\)
\[\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=
k \cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
-2\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
15.3.3 三阶矩阵的求解（示例2）
设存在如下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
-2&1&1\\
0&2&0\\
-4&1&3
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
经过观察，可将\(|A-\lambda \cdot E|\)的第2行按行展开
\[|A-\lambda \cdot E|=(2-\lambda) \cdot
\begin{vmatrix}
-2-\lambda&1\\
-4&3-\lambda
\end{vmatrix}
\]
\[=(2-\lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda)+4]
\]
\[=(2-\lambda) \cdot (-2-\lambda+\lambda^2)
\]
\[=(2-\lambda) \cdot (\lambda+1)(\lambda-2)
\]
解得：
\[\lambda_1=-1，\lambda_2=\lambda_3=2
\]
A对应\(\lambda_1=-1\)的特征向量求解过程如下：
\[(A-\lambda_1 \cdot E)=
\begin{bmatrix}
-1&1&1\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
根据观察，可对上式进行\(初等行变换\)，使结果接近或等价于矩阵标准形：
\(r_1-r_4\)：
\[=
\begin{bmatrix}
3&0&-3\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_1\cdot \frac{1}{3}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_2\cdot \frac{1}{3}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_3+4r_1\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&1&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_3-r_2\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(由(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0得\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=0
\]
\((A-\lambda_1 \cdot E)\)第3行为全0，故可按行乘以\(x\)，有：
\[\begin {cases}
x_1=x_3\\
x_2=0
\end {cases}
\]
可解得：
\[\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=
k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
