RMQ学习笔记

RMQ学习笔记

前言:这个算法无论是从适配性还是长度来说都很有实力...💦

关于 RMQ

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。

详细信息

求 \(l-r\) 区间内的最大/最小数.

区间构造

• 本质是DP.设 \(f[i][j]\) 为 \(i\sim i+2^{j-1}\) 的区间最大值.特别地,\(f[i][0]=a[i]\).(一个数的最大值是它本身).
• 状态转移方程: \(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\).

区间查询

• 设要查询的区间为 \([L,R]\) (包括LR)

• \[k = log2(R-L+1) \]

• \[res[L][R] = max(f[L][K],f[R-2^k+1][k]) \]

• 注意:为保证精度,请自己推导 \(2^k\) ,而不是直接使用 \(log\) 函数.

时间复杂度: \(O(nlog_2n)\)

A. 超级记忆力

题目描述

小A同学拥有无与伦比的超级记忆力，他可以一次性记住很多数字。

为了考验一下小A同学的记忆力，王老师一次性给小A展示了 \(N\) 个整数。然后问了他 \(M\) 个问题，每个问题给定一个区间，要求小A同学说出这个区间中的最大数是多少？

为方便老师检验小A同学的答案是否正确，请你先编程求出正确的答案。

输入

第一行两个整数 \(N,M\) 表示数字的个数和要询问的次数；

接下来一行为 \(N\) 个数；

接下来 \(M\) 行，每行都有两个整数 \(X,Y\) 表示询问的区间。

数据范围：

\(1≤N≤10^5,1≤M≤10^6,1≤X≤Y≤N\)。数字不超过 C/C++ 的 int 范围。

解法:

• 板子,没什么可说的.注意:要开scanf!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10, L = 20;
int a[N], f[N][L];
int lg[N];
int n, m, x, y, k;
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &a[i]);}lg[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;for (int j = 0; j < L; j++) {for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {if (j == 0)f[i][j] = a[i];elsef[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);}}while (m--) {scanf("%d%d", &x, &y);k = lg[y - x + 1];printf("%d\n", max(f[x][k], f[y - (1 << k) + 1][k]));}
}

B. 荣耀之战

题目描述

小 \(A\) 是一名游戏玩家，他正在玩一款叫做“荣耀之战”的游戏。在这个游戏中，他需要通过完成任务来提升自己的等级。

游戏地图上有 \(N\) 个排成一排的装备，每个装备都标注好了经验值和危险值，第 \(i\) 个装备的经验值为 \(V_i\) 危险值为 \(D_i\)。

小 \(A\) 接到了一个任务，他需要在这 \(N\) 个装备中，选取连续的若干个装备，并使得这些装备的经验值总和不小于 \(K\)（\(\ge K\)）。同时要使得这些装备的最大的危险值尽可能的小。

请编程计算出，满足题意的方案中，最大的危险值最小是多少？

输入

第 \(1\) 行读入 \(2\) 个整数 \(N,K\)。

接下来 \(N\) 行，每行读入 \(2\) 个整数 \(V_i,D_i\) ，分别表示每个装备的经验值和危险值。

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le N \le 10^5\)，\(1 \le V_i,D_i \le 10^9\)，\(1 \le K \le 10^{18}\)。

• 要选出一个区间,使得他们在 \(V_i\ge K\) 的情况下 \(D_i\) 的总和最小.能够转化为: 选择 \(V_l+V_{i+1}+...+V_r \ge K\) 且 $D_l+D_{i+1}+...+D_r $ 最小.很容易想到用双指针来解决.注意:一定要让已经过去的数出队!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int L = 20;
long long a[N];
long long lg[N], f[N][L];
long long n, m, v[N], w[N];
#define value long long
value max(value a, value b) {return a > b ? a : b;
}
value min(value a, value b) {return a < b ? a : b;
}
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lld%lld", &v[i], &w[i]);}lg[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {lg[i] = lg[i / 2] + 1;}for (int i = 0; i < L; i++) {for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {if (i == 0)f[j][i] = w[j];elsef[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);}}long long r = 0, sum = 0;long long ans = INT_MAX;for (int l = 1; l <= n; l++) {while (r + 1 <= n and sum < m) {sum += v[++r];}if (sum >= m) {long longlen = lg[r - l + 1];ans = min(ans, max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]));}sum -= v[l];  // 一定要注意让已经过去的数出队!!!!}printf("%lld\n", ans);
}

C.异或

题目内容

有一个长度为 \(N\) 的数列 \(A_1,A_2,\dots,A_n\)。

请问该数列中任意取一个区间 \([L,R]\) 中，是否存在 \(2\) 个数，使得这两个数异或的结果为 \(T\)。

请注意，本题会发起 \(M\) 次询问，对于每次询问的区间，如果能找到符合题意的数对，请输出 yes，否则请输出 no。

输入

第一行包含三个整数 \(n, m, T\) 。

第二行包含 \(n\) 个整数，数字之间用空格隔开。

接下来的 \(M\) 行，每行有一个询问区间，每个询问区间包含 \(2\) 个整数 \(L,R\)。

数据规模

对于 \(20 \%\) 数据, \(1 \leq n, m \leq 100\);

对于另外 \(40 \%\) 数据, \(1 \leq n, m \leq 1000\);

对于 \(100 %\) 的数据, \(1 \leq n, m \leq 10^5,0 \leq T < 2^{20},1\le L \le R \le n,0 \le a_i \le 2^{20}\)

思路

• 首先,我们暴力肯定过不了.
• 题目要求给定区间内是否有一对数.\(a,b\) 满足 \(a^b=T\)
• 简单推到可得: \(a^T=b\) 是由上面式子转化而来的.
• 我们随便列一组数据,并存储到 \(a\) 数组里面: \(a[]=\{2,1,3,4,2,3,2,3\}\)
• 然后没个数异或 \(T\) 得: \(a_2[]=\{3,0,2,5,3,2,3,2\}\)
• 然后在每个数的前面查找异或 \(T\) 后的数,如果找不到标记为 \(0\) :\(a_3[]=\{0,0,1,0,3,5,6,7\}\)
• 如果要找的区间内对应的所有 \(a_3[i]\) 中有大于 \(L\) 而且小于 \(R\) 的数,那就成功了.输出 \(yes.\) 否则就是 \(no\) .
• 这个找符合规定的数的过程可以使用RMQ.记录每个区间内的最小数然后方便之后查找,并且具有最优性.(不信可以试试不同的数据)

Extra T1 P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

没什么可说的,两次RMQ板子分别最大最小,还需要多打打板子题啊...好多小细节需要注意,但是大体上没什么难度.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 * 5 + 10, L = 20;
int f[N][L], a[N], lg[N];  // lg数组的本质就是求出两个下标之间的差值然后log2一下,所以直接开N就行
int fmi[N][L];
int n, q, l, r;int main() {cin >> n >> q;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}// 初始化lg数组lg[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {lg[i] = lg[i / 2] + 1;}// 初始化最大值ST表for (int i = 0; i < L; i++) {  // i从0开始!!!!2^0也是正整数!!!!for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {if (i == 0)  // 同上个注释f[j][i] = a[j];elsef[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);}}// 初始化最小值ST表for (int i = 0; i < L; i++) {for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {if (i == 0)fmi[j][i] = a[j];elsefmi[j][i] = min(fmi[j][i - 1], fmi[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);}}// 构造完毕.while (q--) {cin >> l >> r;int len = lg[r - l + 1];int maxx = max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]);int minn = min(fmi[l][len], fmi[r - (1 << len) + 1][len]);cout << maxx - minn << "\n";}return 0;
}