算法设计与分析 note

\(f(n)=O(g(n))\) 代表存在常数 \(c,n_0\) 使得 \(\forall n>n_0,f(n)\le c*g(n)\) 。

\(f(n)=\Omega(g(n))\) 代表存在常数 \(c,n_0\) 使得 \(\forall n>n_0,f(n)\geq c*g(n)\) 。

\(f(n)=\Theta(g(n))\) 代表存在常数 \(c_1,c_2,n_0\) 使得 \(\forall n>n_0,c_1g(n)\le f(n)\le c_2g(n)\) 。

\(f(n)=o(g(n))\) 代表 \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0\) 。

\(f(n)=\omega(g(n))\) 代表 \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=+\infty\) 。

主定理：

形如 \(T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)\) ，\(T(1)=1\) 。

\(f(n)>n^{\log_ba}\) 则 \(T(n)=\Theta(f(n))\) 。

\(f(n)=n^{\log_ba}\) 则 \(T(n)=\Theta(n^{log_ba}\log n)\) 。

\(f(n)<n^{\log_ba}\) 则 \(T(n)=\Theta(n^{\log_ba})\) 。

分治。

一个题目：有 \(n\) 个物品分为 \(A,B\) 两种满足 \(A\) 物品多于 \(B\) 物品 ，你不知道物品的种类。你需要通过交互找出来一个 \(A\) 物品。只能进行 \(O(n)\) 次查询，每次可以丢给交互库两个不同的物品，交互库会给你返回 \(0\) 或 \(1\) 满足：如果两个物品都是 A ，那只会返回 \(1\) ；如果两个物品 1A1B 只会返回 \(0\) ；否则返回 01 皆有可能。

做法：

如果 \(n\) 是偶数则把物品分为两两一组，对每一组分别查询，若返回 1 则丢掉其中一个；否则都丢掉。不难发现丢完了之后还是满足 A 多于 B ，递归做下去就好了。

如果 \(n\) 是奇数：取出任意一个物品，将它和其他每个物品分别比较一次。如果返回 \(1\) 的次数 \(\geq \frac{n-1}{2}\) 则为 A；否则为 B。如果是 A 就直接输出了，否则把 B 给丢掉。

更好的做法：其实 \(n\) 是奇数的时候不需要通过 \(n-1\) 次判断一个物品的好坏。还是两两分组，做偶数时干的事情。设此时保留的物品个数为 \(C\) ，如果 \(C\) 是偶数就直接把这个多出的保留；否则将其丢掉。

更 ez 的做法：随机一个物品做 \(n-1\) 次比较判断 AB，期望 \(2\) 次就能随到 A 物品。

kth_element 随机做法：

随机一个数 \(w\) ，计算序列中 \(<w\) 的个数 \(s_1\) 和 \(>w\) 的个数 \(s_2\) 。如果 \(s_1<k\le n-s_2\) 那直接得到答案为 \(w\) 了；否则，如果 \(k\le s_1\) 就能只保留前 \(s_1\) 个数，递归做下去；否则只保留后 \(s_2\) 个数，递归做下去。

考虑每次至多保留 \(\max(s_1,s_2)\) 个数。由于 \(w\) 是随的所以这个期望是 \(\frac{2}{3}n\) 。\(T(n)=T(\frac{2n}{3})+\Theta(n)\) 。

确定性做法：

考虑将物品分为 \(5\) 个一组，求出每一组的中位数，再把找出的 \(\frac{n}{5}\) 个数的中位数递归的求出来，设之为 \(w\) ，对 \(w\) 做上面的事情，递归的做下去。由于 \(s_1,s_2\le \frac{7}{10}n\) ，我们有 \(T(n)=T(\frac{1}{5}n)+T(\frac{7}{10}n)+\Theta(n)\) ，这个解出来是 \(\Theta(n)\) 的。

卷积：

对于 \(F(x)\) 设 \(F_0(x)\) 是 \(F\) 保留偶数项系数后的多项式，\(F_1(x)\) 是保留奇数项，我们有 \(F(x)=F_0(x)+xF_1(x)\) 。

发现 \(F(W_{2n}^x)=F_0(W_{n}^x)+W_{2n}^xF_1(W_{n}^x)\) 。

递归计算即可。

大整数乘法：设 \(A=2^{m}a+b,B=2^mc+d\) ，可以得到 \(AB=2^{2m}ac+2^m(ad+bc)+bd\) 。

考虑 \(ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd\) 。递归计算 \(ac,bd,(a+b)(c+d)\) 即可。

复杂度 \(T(n)=3T(\frac{n}{2})+O(n)\) ，即 \(O(n^{log_23})\) 。(Karatsuba)

当然可以更优。最新的结果已经做到 \(O(n\log n)\) 了。

矩阵乘法：类似的，对矩阵分块，8 次转 7 次，有 \(T(n)=7T(\frac{n}{2})+O(n^2)\) 。

\(O(n^{\log_27})\) 。（Strassen）

当然可以更优。最新结果 \(w\) 约为 \(2.371\) 。