程序设计实习 note

对于矩阵 \(A,B,C\) 判断是否有 \(AB=C\) ：随机一个行向量 \(x\) 然后看 \(xAB\) 是否 等于 \(xC\) 。正确率约为 \(1\) 。

通过少量查询得到近似的中位数：如果要求排名误差在 \(2an\) 以内，只需要 \(O(\frac{1}{a^2})\) 次查询就可以做到很高的概率。

k-median:

给定 k 维空间的若干点 \(A_1,A_2,\dots,A_n\) ，要求预处理之后高效进行查询：查询每次给定 \(B\) ，求 \(\sum dis(B,A_i)\) 。可以求近似解。

如果存在一个点 \(P\) 和一个常数 \(c\) 满足 \(\forall i,dis(A_i,P)\in [c,2c]\) ，那考虑以下算法：

直接在 \(n\) 个点里随 \(m\) 个取出来记为 \(C_1,C_2,\dots,C_m\)，估计答案为 \(\frac{n}{m}\sum dis(B,C_i)\) 即可。道理在哪儿呢，考虑令 \(X_i=dis(A_i,B)\) ，根据三角形不等式有 \(X\) 极差 \(\le 4c\) 。

Hoeffding inequality：

设独立随机变量 \(X_1,X_2,\dots,X_m\in [s,t]\) ，\(X:=\sum X_i\) ，则 \(Pr[X-E[X]\geq z]\le 2exp(\frac{-2z^2}{m(t-s)^2})\) 。

看一下式子就可以发现：常数个 \(m\) 就能使误差极大概率控制在 \(\epsilon nc\) 以内。

具体的，需要 \(1-\delta\) 的正确率时我们取 \(m=O(\frac{1}{\epsilon^2}\log(\frac{1}{\delta}))\) 。

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看来误差的分析是跟每次查询的点关系不大的，无论查询如何，我们都能将误差控制在 \(\epsilon nc\) ，也即 \(\epsilon \sum dis(A_i,P)\) 内。

考虑一般的情况，考虑按 \(dis(A_i,P)\) 倍增分块，将这些点分成 \(log_2V\) 层即可，我们仍然把误差控制在了 \(\epsilon \sum dis(A_i,P)\) 内。

看来，只需要选取合理的中心点 \(P\) 即可。

我们并不需要让 \(\sum dis(A_i,P)\) 严格最小：在最优值的常数倍以内都是能接受的。

直接在给出的点里随几个点，取最优的即可。

理由考虑计算这样随，\(\sum dis(A_i,P)\) 的期望，是不超过 \(2\) 倍的最优值的。