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解题思路
这是一个动态规划问题，需要计算期望值。游戏规则如下：
- \(n\) 张牌从上到下编号 \(1\) 到 \(n\)，每张牌上有一个数字 \(a_i\)
- 两人轮流取牌，每次只能取最上面或最下面的牌
- 小明先手，以概率 \(p\) 取上面的牌，概率 \(1-p\) 取下面的牌
- 小方后手，以概率 \(q\) 取上面的牌，概率 \(1-q\) 取下面的牌
- 求小明获得的数字之和的期望值
解决方案：
- 使用区间DP，\(dp[i][j]\) 表示区间 \([i,j]\) 的期望值
- 初始化单张牌和相邻两张牌的情况
- 按照区间长度递推，考虑所有可能的取牌情况
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, P, Q;scanf("%d%d%d", &n, &P, &Q);// 读入牌面值int a[n];for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &a[i]);// 转换概率值double p = P/100.0, q = Q/100.0;double dp[n][n];memset(dp, 0, sizeof(dp));// 初始化单张牌和相邻两张牌的情况for(int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = a[i];if(i < n-1)dp[i][i+1] = p*a[i] + (1-p)*a[i+1];}// 区间DPfor(int k = 2; k < n; k++) {for(int i = 0; i < n-k; i++) {int j = i + k;// 小明取上面的牌时的期望double px = a[i] + q*dp[i+2][j] + (1-q)*dp[i+1][j-1];// 小明取下面的牌时的期望double py = a[j] + q*dp[i+1][j-1] + (1-q)*dp[i][j-2];// 综合两种情况dp[i][j] = p*px + (1-p)*py;}}printf("%.3f\n", dp[0][n-1]);return 0;
}
import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int P = sc.nextInt();int Q = sc.nextInt();// 读入牌面值int[] a = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++) {a[i] = sc.nextInt();}// 转换概率值double p = P/100.0, q = Q/100.0;double[][] dp = new double[n][n];// 初始化单张牌和相邻两张牌的情况for(int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = a[i];if(i < n-1)dp[i][i+1] = p*a[i] + (1-p)*a[i+1];}// 区间DPfor(int k = 2; k < n; k++) {for(int i = 0; i < n-k; i++) {int j = i + k;// 小明取上面的牌时的期望double px = a[i] + q*dp[i+2][j] + (1-q)*dp[i+1][j-1];// 小明取下面的牌时的期望double py = a[j] + q*dp[i+1][j-1] + (1-q)*dp[i][j-2];// 综合两种情况dp[i][j] = p*px + (1-p)*py;}}System.out.printf("%.3f\n", dp[0][n-1]);}
}
def solve():n, P, Q = map(int, input().split())a = list(map(int, input().split()))# 转换概率值p, q = P/100.0, Q/100.0# 初始化DP数组dp = [[0.0] * n for _ in range(n)]# 初始化单张牌和相邻两张牌的情况for i in range(n):dp[i][i] = a[i]if i < n-1:dp[i][i+1] = p*a[i] + (1-p)*a[i+1]# 区间DPfor k in range(2, n):for i in range(n-k):j = i + k# 小明取上面的牌时的期望px = a[i] + q*dp[i+2][j] + (1-q)*dp[i+1][j-1]# 小明取下面的牌时的期望py = a[j] + q*dp[i+1][j-1] + (1-q)*dp[i][j-2]# 综合两种情况dp[i][j] = p*px + (1-p)*pyprint(f"{dp[0][n-1]:.3f}")solve()
算法及复杂度
- 算法：区间动态规划
- 时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2)\) - 需要计算所有可能的区间
- 空间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2)\) - 需要存储所有状态的期望值
