GESP5级总结

目录

• 大纲
• 一.数学
  • 1.唯一分解定理
    • 例题：[GESP202309 五级] 因数分解
  • 2.素数筛
    • ·暴力筛
    • ·埃氏筛
    • ·欧拉筛
    • 总结：
  • 3.辗转相除法

大纲

一. 数学
二. 高精度
三. 单链表、双链表、循环链表
四. 二分查找/二分答案
五. 贪心算法
六. 分治算法（归并排序和快速排序)
七. 递归
八. 算法复杂度的估算（含多项式、指数、对数复杂度）
*粗体为常考内容

一.数学

• 唯一分解定理
• 素数表的埃氏筛法和线性筛法
• 辗转相除法（也称欧几里得算法）

1.唯一分解定理

定理：何一个大于1的整数n都可以分解成若干个素因数的连乘积，如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是惟一的，即若\(n>1\)，则有\(n=p1*p2*…pm\)。质因数分解是实现唯一分解定理的具体方法，而定理则为该方法的有效性奠定了基础。如6被分为23，12被分为34或62再分为32*2，发现质因数分解的结果是唯一的。

例题：[GESP202309 五级] 因数分解

模板：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;signed main() {int n;cin >> n;bool flag = false;for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) {int cnt = 0;while (n % i == 0) {n /= i;cnt++;}if (cnt == 1)cout << i;elsecout << i << "^" << cnt;if (n > 1)cout << " * ";}}if (n > 1)cout << n;return 0;
}

2.素数筛

顾名思义，就是找出一定数字范围内的质数，普通的暴力方法就是枚举该数的所有因子，但有些情况速度过慢，于是就要用埃氏筛法和线性筛法等更快的筛法。

·暴力筛

bool is_prime(int n) {if (n < 2)return false;for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (!(n % i))return false;}return true;
}

·埃氏筛

从 2 开始，将每个质数的倍数标记为合数，直到遍历完所有数。未被标记的数即为质数。

void is_prime(int n) {vector <bool> prime(n + 1, true);for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (prime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {prime[j] = false;}}}for (int i = 2; i <= n; i++) {if (prime[i]) {cout << i << endl;}}return ;
}

·欧拉筛

欧拉筛是一种高效的质数筛选算法，也被称为线性筛法。其核心思想是 每个合数只被其最小质因数标记一次，从而避免了重复标记，提高了筛选效率。

void sieveOfEuler(int n) {vector<int> prime;vector<bool> isprime(n + 1, true);for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isprime[i]) {prime.push_back(i);}for (int prj : prime ) { //遍历prime数组if (i * prj > n)break;isprime[prj * i] = false;if (i % prj == 0)break;}}for (int pri : prime) {cout << pri << endl;}return ;
}

总结：

方法	时间复杂度	优点	缺点	适用场景
暴力筛法	$ O(n \sqrt{n}) $	简单直观	效率低	小范围、学习用途
埃氏筛	$ O(n \log \log n) $	高效、易于实现	重复标记、有一定冗余	中等范围
欧拉筛	$ O(n) $	线性复杂度、无重复标记	实现复杂、需要额外空间	大规模

3.辗转相除法

设有\(a\)，\(b(a>b)\) ,求a和b最大公约数。 令$a %\ b=r $ ，如果$ r=0 $,则b为a和b最大公约数，否则令 \(a=b\) ，\(b=r\) ，重复上述步骤。

int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;        // 基线条件：当 b 为 0 时，GCD 为 a return gcd(b, a % b);        // 递归调用：GCD(a, b) = GCD(b, a % b)
}