唉...本蒟蒻也是要考研了, 目前目标是深圳大学, 想研究的方向偏算法多一点, 深度学习强化学习什么的, 我会尽最大努力了
9 做到一个新的问题，想起与过去某个问题类似。发现在解答中，对此类问题，以及工具和方法的理解是存在缺陷的，或者发现理解不够深刻。于是通过解决新的问题，一并更新迭代过去的理解。
极限、导数以及微分
- 若 \(f(x)=u(x)v(x)\), 则 \(f(x)\) 的泰勒展开式是这两个函数的泰勒展开式相乘, 同时也表明了, 无穷小也是会相乘的
- 关于 \(f(x)=u(x)v(x)\) 的导数
\(f'(x)=u(x)v'(x)+v(x)u'(x)\) 证明在 \(p_{167}\) 页, 如果一个多因使或者 \(n\) 阶导无法直接求出, 尝试简化到上述模式, 然后通过求导或者是莱布尼茨公式来求导$$\frac{dn}{dxn} [u(x) v(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$$
或者是利用泰勒展开, 如第一点提到的多项式相乘
- 对于多项相乘的求导, 要学会简化
- \(f(x)=\prod_{n=1}^{100}\,(\tan(\frac{\pi\,x^{n}}{4})-n)\) , 求 \(f'(1)\)
通过观察发现 \(n=1\) 的时候值为 \(0\), 由于多因式求导非常复杂, 我们不希望求解多次导, 那么可以提出 \(n = 1\) 的时候, 这样就有 $$\tan(\frac{\pi,x}{4})-1\times\prod_{n=2}{100},(\tan(\frac{\pi,x{n}}{4})-n)$$
此时就变成了 \(f(x)=u(x)v(x)\) 的形式, 再次求导就会非常方便 - \(y=\frac{1-x}{1+x}\) , 求 \(y^{(n)}(0)\)
我们知道 \((\frac{1}{ax+b})^{n}\) 的导是好求的, 那么就进行转换 \(y=-1+\frac{2}{1+x}\)
- \(f(x)=\prod_{n=1}^{100}\,(\tan(\frac{\pi\,x^{n}}{4})-n)\) , 求 \(f'(1)\)
- 对于导数的定义, 其实和求极限是一回事, 两者可以互逆
- 若某一侧极限存在则同一侧导数一样存在, 而这个点处的导数存在要两侧极限存在且相等
- 证: \(\lim_{x \to {x_0}^{+}} =A \Rightarrow f'({x_0}^{+})=A\), 从定义出发, 然后进行洛必达即可
- 若只给出了 \(\lim_{x\to x_0}=A\) 这只代表在 \(x_0\) 两边的极限是相同的, 并不意味着连续, 必须要在 \(x_0\) 有定义且有 \(f(x_0) = A\) 才算作在其点连续, 当没有给出定义点而是一个抽象函数(考虑分段函数, 如 \(f(x)=x^2(x\neq0),\,\,0(x=0)\))时, 那就这个点就不连续, 所以就不会可导
- 相对的, 若是给出了 \(f(x)\) 在区间 \([a,\, b]\) 可导则证明存在 \(\lim_{x\to a^{+}}f'(x)\) 存在, 右区间的左边也同理, 那么此时如果有隐含条件如 \(\lim_{x\to a^{+}}\,\frac{f(x)}{x}=A\), 由于 \(f(x)\) 在 \(a\) 处连续, 自然的就有 \(f(a)=A\)
- \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续, 存在 \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x^n(n\geq2)}=A\) 或者\(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n(n\geq2)}=A\), 此时 \(f(x_0)\) 可导且 \(f'(x_0)=0\), 进一步的, 还可以通过对上述式子进行洛必达可能会得到 \(f''(x_0),\,\,f'''(x_0)\) 的性质
- 若已知导数在 \(x=x_0\) 处存在, 并有\(f'(x_0)=A\), 求 \(\lim_{x\to x_0^{+(-)}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{g(x)}\),这里的 \(g(x_0)=0或\infty\) 由于导数并不一定在 \(x_0\) 处连续, 则不能使用洛必达或者柯西中值, 考虑构造 \(\lim_{x\to x_0^{+(-)}}\dfrac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\), \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续
- 若某一侧极限存在则同一侧导数一样存在, 而这个点处的导数存在要两侧极限存在且相等
- 灵活观察是否存在 \(1^{\infty}\), 是否满足 \(\lim a(x)b(x)=A\),\(lima(x)=0\),\(limb(x)=\infty\), 此时直接有 $$lim(1+a(x)){b(x)}=e$$ 注: 通过简化, 这里的 \(1\) 是关键点, 可以进行很多变换
- 对于一个根号下面的式子(或者带着绝对值), 需要开根号(或者加根号平方从而去掉绝对值), 要时刻注意值的正负, 对于一些求极限根号下问题,存在一类问题的结果是公式的最大值, 也就是说要时刻注意着某些式子在对应条件下的值的大小, 可以会造成不同的答案.
- \(lim_{n\to\infty}\dfrac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\), 要注意 \(x\) 在 \(<1,\,1,\,>1\) 的情况下的不同取值
- 对于绝对值可导问题, 要明白函数的绝对值不可导情况下一定是加上绝对值之后使得函数变得相对来说 "没那么近了" 那么如果对于一个连续可导且值不为零的邻域内, 其值都是同号的, 加上绝对值也必然同号, 当然可导. 但是如果对于一个可导和值为零的邻域, 加上绝对值之后有一边变号(这里一定是整体加上绝对值, 否则仍需按照定义), 距离变大, 不可导
- 对于参数方程求导, 一定要记住$$y=f(x),,,, \begin{cases} x=\phi(t) \y=\psi(t) \end{cases}$$
- 注意: 只有在均为 \(t\) 的函数下, \(\frac{dx}{dy}\) 才等于 \(\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\), 如果出现类似\(te^{y}+y+1=0\) 的情况是不可以直接求导的, 要先求出 \(\frac{dy}{dt}\) (即对 \(t\) 求一次导, \(y\) 也是关于 \(t\) 的函数), 然后再求.
- 对于讨论 \(f(x)\) 的连续, 可导性质
- 对于可导性, 可以变换成 \(y=f(x)\) 来求解, 也可以讨论 \(\frac{dy}{dx}\) 得出可导性
- 对于连续性, 同上的, 一样可以换成 \(f(x)\) 来讨论连续性, 若可导则一定连续了, 还有一种方法可以讨论连续性, 就是讨论 \(\phi(t),\,\,\,\psi(t)\) 是否连续, 如果这两个函数均连续, 那么 \(f(x)\) 自然连续
- 对于两个根式的比较, 可以通过两边乘上 \(x\) 次方
- 比较 \(2^{\frac{1}{2}},\,\,\,3^{\frac{1}{3}}\)
两边直接乘三次或者六次即可得出结果
- 比较 \(2^{\frac{1}{2}},\,\,\,3^{\frac{1}{3}}\)
- 对于 \(f(x)\), 若存在 \(f'(x) \geq 0\) 且等号只在有限个点成立, 就为严格单调增函数, 此时 \(f'(x) = 0\) 并不代表不递增而是表示增的没有 \(x \to x_0\) 快, 所以此时就引出了一个概念, 如果说一个 \(f'(x_0)=0\) 且在 \(x_0\) 处取最大值, 那么一定会有 \(f''(x_0)\leq 0\) 因为此时我们只能得出一个广泛的概念, 就是说 \(f'(x_0)\) 一定是不能是递增的, 那么根据之前的说法, 我们只需要 \(f'(x_0)\) 递减即 \(f''(x_0) \leq 0\) 在有限个点取等号, \(f''(x_0) = 0\) 不能得出无变化
- 给出一个函数 \(f(x)\), 首先观察是否存在不可导点是否是极值点(极值点和拐点并不依赖于函数在此点可导, 但是必须连续)
- 对于不可导的地方, 观察是否两边的导数值 \(f'(x_{0}^{+})\times f'(x_{0}^{-}) < 0\), 这是满足驻点的条件, 同样的观察其二阶导, 这是满足拐点的条件. 若是给出二阶导数图像, 则需要观察是否存在 \(x_0\) 使得两边异号
- 对于可导的地方, 观察 \(f'(x) = 0\) 得出其可能存在的驻点, 观察 \(f''(x)\) 是否不等零, 若是则是驻点. 观察 \(f''(x) = 0\) 得出可能存在的拐点, 然后通过 \(f'''(x) \neq 0\) 验证
- 若 \(a\) 是 \(f(x) = 0\) 的 \(m(m\geq1)\) 重根, 则 \(a\) 是 \(f'(x) = 0\) 的 \(m-1\) 重根
中值定理
构造辅助函数进行证明, 常用的辅助函数如下
公式：\((uv)' = u'v + uv'\)，逆用方法如下：
- \([f(x)f'(x)]' = [f^2(x)]' = 2f(x) \cdot f'(x)\), 见到 \(f(x)f'(x)\)，令 \(F(x) = f^2(x)\)
- \([f(x) \cdot f'(x)]' = [f'(x)]^2 + f(x)f''(x)\), 见到 \([f'(x)]^2 + f(x)f''(x)\)，令 \(F(x) = f(x)f'(x)\)
- \([f(x)e^{\varphi(x)}]' = [f'(x) + f(x)\varphi'(x)]e^{\varphi(x)}\), 见到 \(f'(x) + f(x)\varphi'(x)\)，令 \(F(x) = f(x)e^{\varphi(x)}\)
- \(\varphi(x) = x \Rightarrow\) 见到 \(f'(x) + f(x)\)，令 \(F(x) = f(x)e^x\)
- \(\varphi(x) = -x \Rightarrow\) 见到 \(f'(x) - f(x)\)，令 \(F(x) = f(x)e^{-x}\)
- \(\varphi(x) = kx \Rightarrow\) 见到 \(f'(x) + kf(x)\)，令 \(F(x) = f(x)e^{kx}\)
注：\((uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''\) 亦可能考
公式：\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)，逆用方法如下：
- \(\left[\frac{f(x)}{x}\right]' = \frac{f'(x)x - f(x)}{x^2}\)
见到 \(f'(x)x - f(x)\)（\(x \neq 0\)），令 \(F(x) = \frac{f(x)}{x}\)。 - \(\left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]' = \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{f^2(x)}\), 见到 \(f''(x)f(x) - [f'(x)]^2\)（\(f(x) \neq 0\)），令 \(F(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\)
- \((\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}, \quad \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)' = \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{f^2(x)}\), 见到 \(f''(x)f(x) - [f'(x)]^2\)\((f(x) > 0)\)，令 \(F(x) = \ln f(x)\)。
- 若题目中要求证明的命题里含有 \(a+b\) 或者 \(a-b\), 不妨 \(Lagrange\) 中值定理, \(a+b\) 的出现需要构造一个抽象函数 \(f(x)\) 然后若可以用 \(Lagrange\) 且 \(x\neq0\) 则可以使用柯西中值: \(\dfrac{f'(\xi)}{2\xi}\times \dfrac{1}{f'(\eta)}\,=\,\dfrac{f(a)-f(b)}{a^2-b^2}\times\dfrac{a-b}{f(a)-f(b)}\)
- 对于可用泰勒简化的难证明题, 如证明 \(f(x) \leq \dfrac{1}{n!}g(x)\) 或者与 \(f^{n(n\geq2)}\), 可以考虑 \(Lagrange\) 余项公式证明
- 证 \(|\dfrac{sinx}{x}-1|\,\leq\,\dfrac{1}{2}|x|\)
把 \(sinx\) 换成在 \(x_0=0\) 处的 \(lagrange\) 余项, 于是有$$sin0+(sinx)'|{x=0}*x+\dfrac{(sinx)''|{x=\xi}}{2!}*x2=x-\dfrac{x2sin\xi}{2},,,\xi\in(0,x)$$这样就有 \(|-\dfrac{xsin\xi}{2}|\) 自然就证出来了
- 证 \(|\dfrac{sinx}{x}-1|\,\leq\,\dfrac{1}{2}|x|\)
- 关于中值定理的证明题, 有时候找一些隐藏的点, 只需要其存在就可证明
- 非常数函数 \(f(x)\) 在 \([a,\,b]\) 可导, \(f(a)=f(b)=0\), 证: \(f'(\xi)>0(<0)\)
不妨设一点 \(c\) 有 \(a<c<b\), \(f'(\xi_1)=\dfrac{f(a)-f(c)}{a-c}\),\(f'(\xi_2)=\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}\), 若 \(f'(\xi_1)>0(<0)\) 则 \(f'{\xi_2}<0(>0)\), 得证
- 非常数函数 \(f(x)\) 在 \([a,\,b]\) 可导, \(f(a)=f(b)=0\), 证: \(f'(\xi)>0(<0)\)
积分
- 关于不定积分原函数 \(F(x)\) 和 导函数 \(f(x)\), 我们知道以下几点
- 对于变限积分 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\), 存在即连续
- 积分中值定理的证明
- \(m(b-a)\,dx\,\leq\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,\leq\,M(b-a)\), 则由介值定理可得, 存在 \(\xi\in[a, b]\) 使得 \(\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)\)
- 若证存在 \(\eta\in(a,b)\) 使得 \(\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(\eta)(b-a)\), 可考虑使用拉格朗日证明: 由于 \(f(x)\) 连续, 则有 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\), 有 \(F(b)-F(a)=f(\eta)(b-a)\,\Rightarrow\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx-0=f(\eta)(b-a),\,\,\eta\in(a,b)\)
- 连续函数 \(f(x)\) 必有原函数 \(F(x)\)
证: \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续, 有 \(x\in(a,b),\,\, x+\Delta x\in(a, b)\), \(\Delta F\,=\,F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{a}^{x+\Delta x}f(t)\,dt-\int_{a}^{x}f(t)\,dt\,=\,\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt\,=\,f(\xi)(\Delta x),\,\xi\in(x, x+\Delta x)\)
又 \(F'(x)\,=\,\lim_{\Delta x \to0}\dfrac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\) 则洛必达之后, 由于 \(\Delta x \to 0 \Rightarrow \xi\to x \Rightarrow \lim_{\xi\to x}f(\xi)=f(x)\), 得证 - 若函数 \(f(x)\) 有第一类间断点或无穷间断点, 则没有原函数 \(F(x)\)
- 对于导函数 \(f(x)\), 若存在, 则原函数一定在定义域内处处可导处处连续, 则求原函数 \(F(x)\) 的时候要注意可能间断的地方(\(f(x)\)是分段函数)要用 \(\int f(x)+C\) 在原函数的地方连接起来
- 求解不定积分的时候一定要 \(+C\)
- 关于定积分
- 函数 \(f(x)\) 可积意味着 \(|f(x)|\leq M\)
- 对于定积分的几何意义, 我们有: 选择的区间一小块中的任意函数值都可以作为积分的数值, 只是为了方便来讲我们把它设置成第 \(i\) 的函数值即 \(f(\frac{i}{n})\) 但是可以取中间值即 \(f(\frac{2i-1}{2n})\) 或者 其他值, 其通项公式是 $$\int_{a}^{b} f(x) ,dx ,= , \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n},f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}$$注意这里的公式, 我们不仅将其 \(n\) 等分, 还可以 \(2n, 3n\dots\), 但是定义还是不会变的, 那就是我们一定要有 \(\frac{b-a}{n}i\) 对应 \(\frac{b-a}{n}\) ![[Pasted image 20250307194410.png]]
- 若函数 \(f(x)\) 具有有限个间断点(除无穷间断点), 则存在 \(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\) 存在
- 定积分存在的充分条件
- \(f(x)\) 在区间 \(I\) 单调
- \(f(x)\) 在区间 \(I\) 连续
- \(f(x)\) 在区间 \(I\) 有界, 且只有有限个间断点
- 定积分存在的必要条件
- \(f(x)\) 在区间 \(I\) 有界
- 积分区间长度有限
- 对于类似比大小的题目, 要从以下方面探究(不全, 但是能想到的基本都会写上去):
- 观察是否可以用奇函数简化, 或者拆分之后简化部分, 如: $$\int_{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\dfrac{x2+x+1}{x^2+1}$$我们直接拆开然后会发现是个常数和奇函数, 此时就是 \(1\)
- 使用放缩, 如比较 \(M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin^2xcosx\,dx\) 和 \(N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin^3x-cosx\,dx\), 可以把 \(M\) 的 \(cosx\) 换成 \(sinx\), 然后进行相减, 由于在定义区间我们有 \(cosx>sinx\)
- 讨论函数性质, 对于确定的分母部分不需要讨论, 可简化讨论步骤, 如 \(\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{(1+x)ln^2(1+x)}{x^2}\,dx\), 可直接讨论分子部分
- 关于变限积分
- 变限积分 \(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\) 是关于 \(x\) 的函数
- 若 \(f(x)\) 可积, 则 \(F(x) = \int_{a}^{x}f(t)\,dt\) 连续, 这里注意 \(F(x)\) 不一定是其原函数, 且 \(f(x)\) 不一定连续, 有有限个间断点也可积, 即变限积分若存在必然连续, 证明如下:
- \(f(x)\) 可积, 则 \(|f(x)|\leq M\), 有$$F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t),dt\leq M\Delta x$$ 取极限有 \(\lim_{\Delta x \to 0}F(x+\Delta x)-F(x)=\lim_{\Delta x \to 0}M\Delta x = 0\), 即 \(\lim_{\Delta x \to 0} F(x+\Delta x) = F(x)\), 得证
- 若 \(f(x)\) 有跳跃间断点, 则 \(F(x)\) 在间断点处不可导, 且对应的导数对应 \(f(x)\) 的极限
- 若 \(f(x)\) 有可去间断点, 则 \(F(x)\) 在间断点处可导且\(F'(x_0)=\lim_{x\to x}f(x)\)
- 关于积分的计算问题
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拆开使用分部积分抵消, 这类方法需要先观察, 如果存在对拆开部分求导之后出现后面的部分则可以使用(\(9.5, \,\,9.11\))
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直接使用换元后的 \(f(t)dg(t)\) 分部积分成 \(g(t)df(t)\), 例(\(9.7\))
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区间再现(\(9.18,\,\,9.12\))
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对于 \(\dfrac{1}{1+sinx},\,\,\dfrac{1}{1+cosx}\) 等等, 要常用分子分母有理化, 上下同乘
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对于积分换元的时候, 要注意反函数的区间是否要断开, 如果类似与 \(arcsinsinx,\,\,arctantanx\), 需要注意范围, 只需要看函数是否单调即可
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注意利用奇函数和偶函数积分性质, 必要时将式子拆开
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对于 \(\dfrac{1}{a^2+x^2}dx\), 一定要把它抽象化, 类 \(\dfrac{1}{x^2-x+1}\rightarrow \dfrac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\), 注意这里一定要凑出 \(d(x-\frac{1}{2})\)
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