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主成分分析是一种将高维数据降维的方法，它通过将高维数据投影到低维空间，来保留数据的主要特征。
在本题中，PCA的实现方式是基于特征值分解的，其具体步骤如下：
1. 标准化数据
- 将输入数据标准化，使得每个特征的均值为0，方差为1。
- 数学表达式为：
\[x_{standardized} = \frac{x - \mu}{\sigma}
\]
2. 计算协方差矩阵
- 计算标准化后的数据协方差矩阵。
- 数学表达式为：
\[covariance\_matrix = \frac{1}{m-1} \times (X^T \times X)
\]
3. 计算特征值和特征向量
- 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
- 数学表达式为：
\[eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(covariance\_matrix)
\]
4. 选择主成分
- 选择特征值最大的k个特征向量作为主成分。
- 数学表达式为：
\[principal\_components = eigenvectors[:, :k]
\]
标准代码如下
def pca(data, k):data_standardized = (data - np.mean(data, axis=0)) / np.std(data, axis=0)covariance_matrix = np.cov(data_standardized, rowvar=False)eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(covariance_matrix)idx = np.argsort(eigenvalues)[::-1]eigenvalues_sorted = eigenvalues[idx]eigenvectors_sorted = eigenvectors[:,idx]principal_components = eigenvectors_sorted[:, :k]return np.round(principal_components, 4)
